Yıldız Astrofiziği: Jeans Kriterleri

Hidrostatik dengenin yokluğu, iki temel durumla açıklanabilir: Ya madde, kendi kütle çekimi üzerine çökmektedir ya da dağılmaktadır. Yıldız oluşumu sırasında, gaz kütlesi, kendi kütle çekimi altında çökmeye başlar. Bu çökmeye, içeride ısınan gazın oluşturduğu basınç karşı koyar. Kütle çöktükçe, basınç da artacağından bir noktada dengeye gelinir. Bu dengeye, hidrostatik denge denildiğini biliyoruz.

Tüm bu sınırlamaları bildiğimize göre, başlangıç koşulları belirlenen bir gaz kütlesinin, çöküp çökmeyeceğini de belirleyebiliriz. Gaz kütlesinin çökmesi için yeterli koşul sınırını veren bu kriterlere, Jeans Kriterleri diyoruz.

Virial Kuramı'ndan bildiğimiz üzere, hidrostatik dengedeki bir ortam için -\Omega=2\text{U}'dur. Fakat dengenin olmadığı, çökmenin gerçekleştiği durumları arıyorsak, -\Omega>2\text{U} durumunu araştırmalıyız.

Kütle çekimsel potansiyel enerji (\Omega) aşağıdaki şekilde verilir.

\begin{equation}
\Omega=-\frac{3}{5}\frac{\text{G}M^2}{R}
\end{equation}

Termal enerji (\text{U}) ise,

\begin{equation}
U=\frac{3}{2}\text{NkT}
\end{equation}

olarak verilir. Böylelikle bu iki ifadeyi, kütle çekimsel potansiyel enerjinin, termal enerjiden fazla olduğu koşulunda yerine yazacak olursak, aşağıdaki eşitsizliği elde ederiz.

\begin{equation}
\frac{3}{5}\frac{\text{G}M^2}{R}>\frac{3M\text{kT}}{\mu m_H}
\end{equation}

Jeans Kütlesi

Eşitsizlikteki R parametresini M cinsinden yazabiliriz. Küresel bir yapı için M=\frac{4}{3}\pi R^3 \rho olduğuna göre, R=\Big( \frac{3}{4} \frac{M}{\pi \rho} \Big)^{1/3} olarak yazılabilir. Eğer bu ifadeyi yerine koyacak olursak,

\begin{equation}
\frac{3}{5}\text{G}M^2\Bigg( \frac{3}{4}\frac{M}{\rho \pi} \Bigg)^{-1/3} > \frac{3\text{kT}}{\mu m_H}
\end{equation}

İfadeyi düzenlemek için M ifadesini kökün içerisinden çıkarıp, kalanları karşı tarafa attığımızda,

\begin{equation}
\frac{3}{5}\text{G}M^{2/3}>\frac{3\text{kT}}{\mu m_H} \Bigg(\frac{3}{4\rho \pi}\Bigg)^{1/3}
\end{equation}

Eşitliğin bir tarafında kütle (M) ifadesini yalnız bırakalım.

\begin{equation}
M^{2/3}>\frac{5\text{kT}}{\text{G}\mu m_H} \Bigg(\frac{3}{4\rho \pi}\Bigg)^{1/3}
\end{equation}

İfadenin üslerini düzenleyerek, kütle için sade bir hale getirirsek,

\begin{equation}
M>\Bigg(\frac{5\text{kT}}{\text{G}\mu m_H} \Bigg)^{3/2} \Bigg(\frac{3}{4\rho \pi} \Bigg)^{1/2}=M_j
\end{equation}

Böylelikle bulutsunun çökmesi için gerekli minimum kütle değeri olan M_j elde edilmiş olur.

Jeans Yarıçapı

\text{(3)} numaralı denkleme geri dönelim ve bu kez ifadeyi R cinsinden düzenleyelim. M=\frac{4}{3}\pi R^3 \rho olduğuna göre, bu ifadeyi yerine yazacak olursak,

\begin{equation}
\frac{3}{5}\text{G}\Bigg( \frac{4}{3}\pi R^3\rho\Bigg)^{2}\frac{1}{R}>3\Bigg( \frac{4}{3}\pi R^3\rho\Bigg)\text{kT}\frac{1}{\mu m_H}
\end{equation}

elde ederiz. Bu ifadede üsleri açıp, R ifadelerini sadeleştirdiğimizde denklem,

\begin{equation}
R^2\text{G}\frac{16}{15}\pi^2\rho^2>4\pi \rho \text{kT}\frac{1}{\mu m_H}
\end{equation}

haline gelir. Eğer burada R^2'yi yalnız bırakır ve her iki tarafın karekökünü alırsak, aradığımız R ifadesine ulaşırız.

\begin{equation}
R>\Bigg(\frac{15}{4}\frac{\text{kT}}{\text{G}\pi \rho \mu m_H}\Bigg)^{1/2} = R_j
\end{equation}

Böylelikle bulutsunun çökmesi için gerekli minimum yarıçap olan R_j bulunmuş olur.

Jeans Yoğunluğu

Jeans yoğunluğunu M'ye bağlı olarak yazmak için, \text{(7)} numaralı denkleme geri dönelim.

\begin{equation}
\frac{3}{5}\text{G}M^{2/3}>\frac{3\text{kT}}{\mu m_H} \Bigg(\frac{3}{4\rho \pi}\Bigg)^{1/3}
\end{equation}

Eğer her iki tarafın karesini alarak; M^2 ile \rho'nun yerini değiştirelim.

\begin{equation}
\rho>\Bigg(\frac{5\text{kT}}{\mu m_H}\Bigg)^3\Bigg( \frac{3}{4\pi M^2} \Bigg) =\rho_j
\end{equation}

Böylelikle bulutsunun çökmesi için gerekli minimum yoğunluk değeri olan \rho_j elde edilir.

Ögetay Kayalı

Kaynaklar
1. Melike Afşar, Solar System ders notları, Ege Üniversitesi Astronomi ve Uzay Bilimleri Bölümü
2. K.S.De Boer and W.Seggewiss, Stars and Stellar Evolution, 7.3.1 Gravitational Instability (Jeans Instability), 106

Ögetay Kayalı

Astronom. Çalışma alanı teorik kozmoloji, özellikle Einstein'ın görelilik kuramının modifiye edilmesi üzerine çalışıyor. Bunların yanında ender bulduğu zaman aralıklarında kafasına esince programlama, 3B modelleme, tasarım, fotoğrafçılık, resim ve satranç ile de ilgileniyor.

Ögetay Kayalı 118 makale yazdıÖgetay Kayalı tarafından yazılan tüm makaleleri gör