Yıldız Astrofiziği: Virial Teoremi

Virial kuramı; kendi kütle çekimi altında çökerek, homojen kütle dağılımına sahip küresel bir yapı şeklinde dengeye gelmiş bir cismin, toplam kinetik enerjisinin, kütle çekimsel enerjisinin yarısına eşit olacağını ifade eder. Daha basit bir ifadeyle; hidrostatik dengedeki bir yıldızın, kütle çekimsel enerjisinin yarısı, gazı ısıtmak üzere termal enerji olarak harcanır.

termal enerji, kütle çekimsel potansiyel enerji olmak üzere, aşağıdaki şekilde ifade edilebilir.

\begin{equation}
\text{U}=-\frac{\Omega}{2}
\end{equation}

Eğer yıldız hidrostatik denge durumunda değilse, bu durumda bir eşitlikten söz edilemez. Kütle çekimsel enerjinin fazla olması durumunda, yıldız çökmeye devam edecek, bu süreçte de dengeye gelene kadar gazı ısıtmaya devam edecektir. (Ayrıca bkz. Jeans Kriterleri)

Denklemin Elde Edilişi

Hidrostatik denge durumundaki bir yıldız için,

\begin{equation}
\frac{\text{dP}}{\text{dr}}=-\frac{\text{GM(r)}\rho\text{(r)}}{r^2}
\end{equation}

Bu denklemi ile çarparsak,

\begin{equation}
\frac{4}{3}\pi r^3\text{dP}=\frac{4}{3}\pi r^3\text{GM(r)}\rho{\text{(r)}}\text{dr}
\end{equation}

elde edilir. Birim kütle elemanı , birim alan ile yoğunluğun çarpımı olarak ifade edilebildiğinden,

\begin{equation}
\text{dM}=4\pi r^2\rho\text{(r)}\text{dr}
\end{equation}

şeklinde yazılabilir. İlgili katmanın hacmi,

\begin{equation}
\text{V}=\frac{4}{3}\pi r^3\text{dr}
\end{equation}

olduğuna göre, numaralı denklem, numaralı denklemde solundaki ifade yerine; numaralı denklem ise numaralı denklemde sağdaki ifade yerine yazılırsa, numaralı denklem aşağıdaki şekle gelir.

\begin{equation}
\text{VdP}=-\frac{\text{GM(r)}}{\text{3}r}\text{dM}
\end{equation}

Eğer yıldızın kütlesi boyunca integral alırsak, kütle çekimsel potansiyel,

\begin{equation}
\Omega=-\int_0^M \frac{\text{GM(r)}}{r}\text{dM}
\end{equation}

\begin{equation}
\int_0^V\text{PdV}=\frac{1}{3}\int_0^M \frac{\text{GM(r)}}{r}\text{dM}
\end{equation}

\begin{equation}
3\int_0^V\text{PdV}=-\Omega
\end{equation}

İdeal gaz yasasına göre, sıcaklığına sahip bir gaz içerisindeki parçacıkların kinetik enerjileri 'dir. Bu durumda termal enerji

\begin{equation}
\varepsilon = \frac{3\text{NkT}}{2V}
\end{equation}

Gazlarda basınç için bildiğimiz  ifadesini, cinsinden, olarak yazabiliriz. Bu durumda numaralı ifade aşağıdaki şekilde yazılabilir.

\begin{equation}
\Omega = - 2\int_0^V \varepsilon\text{dV}
\end{equation}

Bu ifadedeki yıldızın toplam termal enerjisi 'yu ifade eder. Böylelikle,

\begin{equation}
\text{U} = -\frac{\Omega}{2}\text{  ya da } 2\text{U}+\Omega=0
\end{equation}

olarak bulunur.

Ögetay Kayalı

Kaynaklar
1. Melike Afşar, Solar System ders notları, Ege Üniversitesi Astronomi ve Uzay Bilimleri Bölümü
2. K.S.De Boer and W.Seggewiss, Stars and Stellar Evolution, 4.2.1 Virial Theorem, 57

Ögetay Kayalı

Astronom. Özel ilgi alanı teorik kozmoloji, özellikle Einstein'ın görelilik kuramının modifiye edilmesi (modified gravity) üzerine uğraşıyor. Bunların yanında ender bulduğu zaman aralıklarında kafasına esince programlama, 3B modelleme, makineler, tasarım, fotoğrafçılık, resim ve satranç ile de ilgileniyor.

Ögetay Kayalı 120 makale yazdıÖgetay Kayalı tarafından yazılan tüm makaleleri gör