FizikKuantum Mekaniği

Kuantum Mekaniği: Zamandan Bağımsız Schrödinger Denklemi

Kuantum mekaniğinin temellerini anlamak için anlaşılması gereken en önemli noktalardan birisi, zamandan bağımsız Schrödinger denklemidir. Bu yazımızda da, zamandan bağımsız Schrödinger denkleminin nasıl türetildiğini inceleyeceğiz.

Karşımıza çıkan denklemin çözümü de parçacığın durumuna dair pek çok bilgiyi içinde barındıran dalga fonksiyonunun (ψ) çözümü olmuş olacak. Öncelikle herhangi bir V(x,t) potansiyeli için yazılmış olan zamana bağlı dalga denklemini hatırlayalım.

kuantum 1 Kuantum Mekaniği: Zamandan Bağımsız Schrödinger Denklemi
Zamana bağlı dalga denklemi

Zamandan Bağımsız Schrödinger Denkleminin Türetilişi

Eğer ki potansiyelin zamandan bağımsız olduğunu kabul edersek, yani V(x) olarak ifade edersek, değişkenlere ayırma yöntemini kullanarak bu kısmi diferansiyel denklemi rahatlıkla çözebiliriz. Değişkenlere ayırma yöntemine göre, diyebilliriz ki:

Kuantum 2 Kuantum Mekaniği: Zamandan Bağımsız Schrödinger Denklemi

Öyleyse,

Kuantum 3 Kuantum Mekaniği: Zamandan Bağımsız Schrödinger Denklemi
Kuantum 4 Kuantum Mekaniği: Zamandan Bağımsız Schrödinger Denklemi

Olarak yazabiliriz. Şimdi bu iki denklemi, zamana bağlı Schrödinger denkleminin içine yazalım.

Kuantum 5 Kuantum Mekaniği: Zamandan Bağımsız Schrödinger Denklemi

Şimdi eşitliğin iki tarafını ψT’ye bölelim.

Kuantum 6 Kuantum Mekaniği: Zamandan Bağımsız Schrödinger Denklemi

Karşımıza çıkan bu denklem, bizi ona baktıkça bizi mutlu eden türden bir denklemdir. Sebebi ise oldukça basit. Eşitliğin sol tarafı t’ye, sağ tarafı ise x’e bağlı bir fonksiyon halindedir. Bu da demek oluyor ki bu ikisi birbirine ancak tek bir durumda eşit olabilir. Bu durum ise ikisinin de bir sabite eşit olması durumudur. Bu özel sabite, ayrıştırma sabiti denir.

Bu sabiti gama (Γ) harfi ile ifade edelim. Öyleyse eşitliğin her iki tarafını aşağıdaki gibi ifade edebiliriz:

Kuantum7 Kuantum Mekaniği: Zamandan Bağımsız Schrödinger Denklemi

Bu da çözümü oldukça basit olan bir diferansiyel denklemdir. Çözümü:

Kuantum 8 Kuantum Mekaniği: Zamandan Bağımsız Schrödinger Denklemi

Aynı şekilde sağ tarafı da yazarsak:

CodeCogsEqn 4 Kuantum Mekaniği: Zamandan Bağımsız Schrödinger Denklemi

Bu denklemden gelecek çözüm de bizim dalga fonksiyonumuzu yani ψ(x)’i oluşturacak. T(t) ve ψ(x)’i değişken değiştirme metodunun başında oluşturduğumuz eşitliğe geri koyarsak:

CodeCogsEqn Kuantum Mekaniği: Zamandan Bağımsız Schrödinger Denklemi

Gamanın Anlamı

Bu denklemin üzerine biraz düşünecek olursanız, zamana bağlı olarak salınım yapacağını görebilirsiniz. Bu salınımın frekansı aşağıdaki gibi ifade edilir.

CodeCogsEqn 1 Kuantum Mekaniği: Zamandan Bağımsız Schrödinger Denklemi

Planck’ın (ya da Einstein’ın) meşhur formulünü hatırlayalım.

CodeCogsEqn 2 Kuantum Mekaniği: Zamandan Bağımsız Schrödinger Denklemi

Bir benzerlik gördünüz mü? Evet! Bizim güzeller güzeli gamamız aslında enerji anlamına geliyor. Öyleyse son kez, zamandan bağımsız Schrödinger denklemini tekrar yazalım:

CodeCogsEqn 3 Kuantum Mekaniği: Zamandan Bağımsız Schrödinger Denklemi
Zamandan bağımsız schrödinger denklemi


Dalga denkleminin küresel koordinatlarda nasıl çözüldüğünü merak ediyorsanız. bu çözümün yapıldığı yazımıza bakabilirsiniz.

Hazırlayan: Ege Can KARANFİL


Referanslar
1. David J. Griffiths, Introduction to Quantum Mechanics, 2nd edition
2. Prof. Dr. Gürsevil TURAN, Quantum Physics ders notları


Kapak Görseli
1. https://online.stanford.edu/courses/soe-yeeqmse01-quantum-mechanics-scientists-and-engineers

Ege Can Karanfil

Rasyonalist editör ve yazar. Orta Doğu Teknik Üniversitesi (ODTÜ) Fizik bölümü yüksek lisans. Nükleer fizik üzerine araştırmalar yapmaktadır.

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

Back to top button

Destek Ol!


Neden desteğinize ihtiyacımız var: Çünkü Rasyonalist'in tek destekçisi sizlersiniz.

Rasyonalist'in masraflarını karşılamak, gelişimini sağlamak, profesyonel ekipmanlara ulaşarak bunlarla sizlere daha iyi hizmetler verebilmek için desteğiniz gerekiyor.

 

Bağışta bulunmakla ilgili soru işaretlerinizi yanıtlayabilmek için, hakkımızda sayfamıza göz atmanızı öneriyoruz.