FizikKuantum Mekaniği

Kuantum Mekaniği: Zamandan Bağımsız Schrödinger Denklemi

Kuantum mekaniğinin temellerini anlamak için anlaşılması gereken en önemli noktalardan birisi, zamandan bağımsız Schrödinger denklemidir. Bu yazımızda da, zamandan bağımsız Schrödinger denkleminin nasıl türetildiğini inceleyeceğiz.

Karşımıza çıkan denklemin çözümü de parçacığın durumuna dair pek çok bilgiyi içinde barındıran dalga fonksiyonunun (ψ) çözümü olmuş olacak. Öncelikle herhangi bir V(x,t) potansiyeli için yazılmış olan zamana bağlı dalga denklemini hatırlayalım.

kuantum 1
Zamana bağlı dalga denklemi

Zamandan Bağımsız Schrödinger Denkleminin Türetilişi

Eğer ki potansiyelin zamandan bağımsız olduğunu kabul edersek, yani V(x) olarak ifade edersek, değişkenlere ayırma yöntemini kullanarak bu kısmi diferansiyel denklemi rahatlıkla çözebiliriz. Değişkenlere ayırma yöntemine göre, diyebilliriz ki:

Kuantum 2

Öyleyse,

Kuantum 3
Kuantum 4

Olarak yazabiliriz. Şimdi bu iki denklemi, zamana bağlı Schrödinger denkleminin içine yazalım.

Kuantum 5

Şimdi eşitliğin iki tarafını ψT’ye bölelim.

Kuantum 6

Karşımıza çıkan bu denklem, bizi ona baktıkça bizi mutlu eden türden bir denklemdir. Sebebi ise oldukça basit. Eşitliğin sol tarafı t’ye, sağ tarafı ise x’e bağlı bir fonksiyon halindedir. Bu da demek oluyor ki bu ikisi birbirine ancak tek bir durumda eşit olabilir. Bu durum ise ikisinin de bir sabite eşit olması durumudur. Bu özel sabite, ayrıştırma sabiti denir.

Bu sabiti gama (Γ) harfi ile ifade edelim. Öyleyse eşitliğin her iki tarafını aşağıdaki gibi ifade edebiliriz:

Kuantum7

Bu da çözümü oldukça basit olan bir diferansiyel denklemdir. Çözümü:

Kuantum 8

Aynı şekilde sağ tarafı da yazarsak:

CodeCogsEqn 4

Bu denklemden gelecek çözüm de bizim dalga fonksiyonumuzu yani ψ(x)’i oluşturacak. T(t) ve ψ(x)’i değişken değiştirme metodunun başında oluşturduğumuz eşitliğe geri koyarsak:

CodeCogsEqn

Gamanın Anlamı

Bu denklemin üzerine biraz düşünecek olursanız, zamana bağlı olarak salınım yapacağını görebilirsiniz. Bu salınımın frekansı aşağıdaki gibi ifade edilir.

CodeCogsEqn 1

Planck’ın (ya da Einstein’ın) meşhur formulünü hatırlayalım.

CodeCogsEqn 2

Bir benzerlik gördünüz mü? Evet! Bizim güzeller güzeli gamamız aslında enerji anlamına geliyor. Öyleyse son kez, zamandan bağımsız Schrödinger denklemini tekrar yazalım:

CodeCogsEqn 3
Zamandan bağımsız schrödinger denklemi


Dalga denkleminin küresel koordinatlarda nasıl çözüldüğünü merak ediyorsanız. bu çözümün yapıldığı yazımıza bakabilirsiniz.

Hazırlayan: Ege Can KARANFİL


Referanslar
1. David J. Griffiths, Introduction to Quantum Mechanics, 2nd edition
2. Prof. Dr. Gürsevil TURAN, Quantum Physics ders notları


Kapak Görseli
1. https://online.stanford.edu/courses/soe-yeeqmse01-quantum-mechanics-scientists-and-engineers

Etiketler
Daha Fazla Göster

Ege Can Karanfil

Orta Doğu Teknik Üniversitesi Fizik Bölümü öğrencisi. Evrimsel biyolojiye ve Matematiğe de ilgi duymakta. Boş vakitlerinde müzik ve kaligrafi ile ilgileniyor. Demiryolu ve O302 sevdalısı.

Bir cevap yazın

Başa dön tuşu
Kapalı
Kapalı