13.9 C
İstanbul
16 Aralık 2018
Astrofizik Astronomi

Yıldız Astrofiziği: Virial Teoremi

Virial kuramı; kendi kütle çekimi altında çökerek, homojen kütle dağılımına sahip küresel bir yapı şeklinde dengeye gelmiş bir cismin, toplam kinetik enerjisinin, kütle çekimsel enerjisinin yarısına eşit olacağını ifade eder. Daha basit bir ifadeyle; hidrostatik dengedeki bir yıldızın, kütle çekimsel enerjisinin yarısı, gazı ısıtmak üzere termal enerji olarak harcanır.

\text{U} termal enerji, \Omega kütle çekimsel potansiyel enerji olmak üzere, aşağıdaki şekilde ifade edilebilir.

(1)   \begin{equation*} \text{U}=-\frac{\Omega}{2} \end{equation*}

Eğer yıldız hidrostatik denge durumunda değilse, bu durumda bir eşitlikten söz edilemez. Kütle çekimsel enerjinin fazla olması durumunda, yıldız çökmeye devam edecek, bu süreçte de dengeye gelene kadar gazı ısıtmaya devam edecektir. (Ayrıca bkz. Jeans Kriterleri)

Denklemin Elde Edilişi

Hidrostatik denge durumundaki bir yıldız için,

(2)   \begin{equation*} \frac{\text{dP}}{\text{dr}}=-\frac{\text{GM(r)}\rho\text{(r)}}{r^2} \end{equation*}

Bu denklemi \frac{4}{3}\pi r^3\text{dr} ile çarparsak,

(3)   \begin{equation*} \frac{4}{3}\pi r^3\text{dP}=\frac{4}{3}\pi r^3\text{GM(r)}\rho{\text{(r)}}\text{dr} \end{equation*}

elde edilir. Birim kütle elemanı

    \[\text{dM}\]

, birim alan ile yoğunluğun çarpımı olarak ifade edilebildiğinden,

(4)   \begin{equation*} \text{dM}=4\pi r^2\rho\text{(r)}\text{dr} \end{equation*}

şeklinde yazılabilir. İlgili katmanın hacmi,

(5)   \begin{equation*} \text{V}=\frac{4}{3}\pi r^3\text{dr} \end{equation*}

olduğuna göre, \text{4} numaralı denklem, \text{3} numaralı denklemde solundaki ifade yerine; \text{5} numaralı denklem ise \text{3} numaralı denklemde sağdaki ifade yerine yazılırsa, \text{3} numaralı denklem aşağıdaki şekle gelir.

(6)   \begin{equation*} \text{VdP}=-\frac{\text{GM(r)}}{\text{3}r}\text{dM} \end{equation*}

Eğer yıldızın kütlesi boyunca integral alırsak, kütle çekimsel potansiyel,

(7)   \begin{equation*} \Omega=-\int_0^M \frac{\text{GM(r)}}{r}\text{dM} \end{equation*}

(8)   \begin{equation*} \int_0^V\text{PdV}=\frac{1}{3}\int_0^M \frac{\text{GM(r)}}{r}\text{dM} \end{equation*}

(9)   \begin{equation*} 3\int_0^V\text{PdV}=-\Omega \end{equation*}

İdeal gaz yasasına göre, \text{T} sıcaklığına sahip bir gaz içerisindeki parçacıkların kinetik enerjileri 3\text{kT}/2‘dir. Bu durumda termal enerji (\varepsilon )

(10)   \begin{equation*} \varepsilon = \frac{3\text{NkT}}{2V} \end{equation*}

Gazlarda basınç için bildiğimiz \text{PV}=\text{NkT} ifadesini, \varepsilon cinsinden, \text{P}=2\varepsilon /3 olarak yazabiliriz. Bu durumda \text(9) numaralı ifade aşağıdaki şekilde yazılabilir.

(11)   \begin{equation*} \Omega = - 2\int_0^V \varepsilon\text{dV} \end{equation*}

Bu ifadedeki \int_0^V \varepsilon\text{dV} yıldızın toplam termal enerjisi \text{U}‘yu ifade eder. Böylelikle,

(12)   \begin{equation*} \text{U} = -\frac{\Omega}{2}\text{  ya da } 2\text{U}+\Omega=0 \end{equation*}

olarak bulunur.

Ögetay Kayalı

Kaynaklar
1. Melike Afşar, Solar System ders notları, Ege Üniversitesi Astronomi ve Uzay Bilimleri Bölümü
2. K.S.De Boer and W.Seggewiss, Stars and Stellar Evolution, 4.2.1 Virial Theorem, 57

Bize destek olarak daha çok içerik üretmemize katkıda bulunun!

Related posts

Kozmoloji: Robertson-Walker Metriği

Ögetay Kayalı

Yıldız Astrofiziği: Radyatif Sürüklenme

Ögetay Kayalı

Yıldız Astrofiziği: Wien Kayma Yasası

Ögetay Kayalı

4 yorumlar

Yıldız Astrofiziği: Hidrostatik Denge | Rasyonalist.org 5 Aralık 2016 at 20:11

[…] çekimsel potansiyel enerjinin bir kısmını, termal (ısısal) enerjiye dönüştürür (Bkz. Virial Teoremi). Bu da, bulutun çöktükçe ısınmaya başlaması anlamına gelir. Bir noktada dengeye gelecek […]

Yıldız Astrofiziği: Çökme Süresi (Serbest Düşme Zamanı) | Rasyonalist.org 18 Aralık 2016 at 01:05

[…] Virial teoremi üzerinden hareketle Jeans kriterlerini tanımlamıştık. Eğer sistem, Jeans kriterlerinde belirtilen yeterli koşulları sağlıyorsa kendi üzerine çökecektir. Bu çöküşü biraz daha detaylı anlayabilmek için, böylesi bir sistemin kendisi üzerine çökme süresini incelemeliyiz. (Bkz. Yıldız Astrofiziği: Virial Kuramı) […]

Yıldız Astrofiziği: Yıldızlarda Minimum ve Maksimum Kütle | Rasyonalist.org 26 Aralık 2016 at 20:28

[…] merkezinin ne kadar sıcak olacağını, onun başlangıç kütlesi belirler. (Ayrıca bkz. Viral Teoremi & Hidrostatik […]

Yıldız Astrofiziği: Hertzsprung-Russell Diyagramı | Rasyonalist.org 31 Aralık 2016 at 15:15

[…] Yıldızı oluşturan gaz ve toz bulutu çöktükçe, kütle çekimsel potansiyel enerjinin bir kısmı, Virial Teoremi'ne göre, gazı ısıtmak için harcanır. Bu yüzden bulut çöktükçe, sıcaklık artmaya başlar. Sıcaklık, çekirdek kısmında daima daha fazladır, çünkü çekirdek daha fazla çöker. Nükleer tepkimeler ise, sıcaklığa aşırı duyarlıdır ve en kolay gerçekleşen nükleer füzyon reaksiyonu, diğerlerine göre ihtiyaç duyduğu düşük sıcaklık sebebiyle, hidrojenin helyuma dönüşümüdür. Dolayısıyla ilk önce hidrojenin füzyonu başlar ve hidrojenin yanması, helyuma göre oldukça kararlıdır. Ne kadar süre boyunca yıldızın hidrojeni ana enerji kaynağı olarak kullanacağı, o yıldızın temelde kütlesine bağlıdır. Çünkü ne kadar fazla kütle, o kadar fazla çökme, o kadar fazla sıcaklık, o kadar fazla reaksiyon olasılığı demektir. Eğer reaksiyonları çabuk gerçekleştirirse, yakıtını kısa sürede harcar. (Bkz. Virial Teoremi) […]

Yorum Bırakın