5 C
İstanbul
12 Aralık 2018
Astrofizik Astronomi

Yıldız Astrofiziği: Jeans Kriterleri

Hidrostatik dengenin yokluğu, iki temel durumla açıklanabilir: Ya madde, kendi kütle çekimi üzerine çökmektedir ya da dağılmaktadır. Yıldız oluşumu sırasında, gaz kütlesi, kendi kütle çekimi altında çökmeye başlar. Bu çökmeye, içeride ısınan gazın oluşturduğu basınç karşı koyar. Kütle çöktükçe, basınç da artacağından bir noktada dengeye gelinir. Bu dengeye, hidrostatik denge denildiğini biliyoruz.

Tüm bu sınırlamaları bildiğimize göre, başlangıç koşulları belirlenen bir gaz kütlesinin, çöküp çökmeyeceğini de belirleyebiliriz. Gaz kütlesinin çökmesi için yeterli koşul sınırını veren bu kriterlere, Jeans Kriterleri diyoruz.

Virial Kuramı’ndan bildiğimiz üzere, hidrostatik dengedeki bir ortam için -\Omega=2\text{U}‘dur. Fakat dengenin olmadığı, çökmenin gerçekleştiği durumları arıyorsak, -\Omega>2\text{U} durumunu araştırmalıyız.

Kütle çekimsel potansiyel enerji (\Omega) aşağıdaki şekilde verilir.

(1)   \begin{equation*} \Omega=-\frac{3}{5}\frac{\text{G}M^2}{R} \end{equation*}

Termal enerji (\text{U}) ise,

(2)   \begin{equation*} U=\frac{3}{2}\text{NkT} \end{equation*}

olarak verilir. Böylelikle bu iki ifadeyi, kütle çekimsel potansiyel enerjinin, termal enerjiden fazla olduğu koşulunda yerine yazacak olursak, aşağıdaki eşitsizliği elde ederiz.

(3)   \begin{equation*} \frac{3}{5}\frac{\text{G}M^2}{R}>\frac{3M\text{kT}}{\mu m_H} \end{equation*}

Jeans Kütlesi

Eşitsizlikteki R parametresini M cinsinden yazabiliriz. Küresel bir yapı için M=\frac{4}{3}\pi R^3 \rho olduğuna göre, R=\Big( \frac{3}{4} \frac{M}{\pi \rho} \Big)^{1/3} olarak yazılabilir. Eğer bu ifadeyi yerine koyacak olursak,

(4)   \begin{equation*} \frac{3}{5}\text{G}M^2\Bigg( \frac{3}{4}\frac{M}{\rho \pi} \Bigg)^{-1/3} > \frac{3\text{kT}}{\mu m_H} \end{equation*}

İfadeyi düzenlemek için M ifadesini kökün içerisinden çıkarıp, kalanları karşı tarafa attığımızda,

(5)   \begin{equation*} \frac{3}{5}\text{G}M^{2/3}>\frac{3\text{kT}}{\mu m_H} \Bigg(\frac{3}{4\rho \pi}\Bigg)^{1/3} \end{equation*}

Eşitliğin bir tarafında kütle (M) ifadesini yalnız bırakalım.

(6)   \begin{equation*} M^{2/3}>\frac{5\text{kT}}{\text{G}\mu m_H} \Bigg(\frac{3}{4\rho \pi}\Bigg)^{1/3} \end{equation*}

İfadenin üslerini düzenleyerek, kütle için sade bir hale getirirsek,

(7)   \begin{equation*} M>\Bigg(\frac{5\text{kT}}{\text{G}\mu m_H} \Bigg)^{3/2} \Bigg(\frac{3}{4\rho \pi} \Bigg)^{1/2}=M_j \end{equation*}

Böylelikle bulutsunun çökmesi için gerekli minimum kütle değeri olan M_j elde edilmiş olur.

Jeans Yarıçapı

\text{(3)} numaralı denkleme geri dönelim ve bu kez ifadeyi R cinsinden düzenleyelim. M=\frac{4}{3}\pi R^3 \rho olduğuna göre, bu ifadeyi yerine yazacak olursak,

(8)   \begin{equation*} \frac{3}{5}\text{G}\Bigg( \frac{4}{3}\pi R^3\rho\Bigg)^{2}\frac{1}{R}>3\Bigg( \frac{4}{3}\pi R^3\rho\Bigg)\text{kT}\frac{1}{\mu m_H} \end{equation*}

elde ederiz. Bu ifadede üsleri açıp, R ifadelerini sadeleştirdiğimizde denklem,

(9)   \begin{equation*} R^2\text{G}\frac{16}{15}\pi^2\rho^2>4\pi \rho \text{kT}\frac{1}{\mu m_H} \end{equation*}

haline gelir. Eğer burada R^2‘yi yalnız bırakır ve her iki tarafın karekökünü alırsak, aradığımız R ifadesine ulaşırız.

(10)   \begin{equation*} R>\Bigg(\frac{15}{4}\frac{\text{kT}}{\text{G}\pi \rho \mu m_H}\Bigg)^{1/2} = R_j \end{equation*}

Böylelikle bulutsunun çökmesi için gerekli minimum yarıçap olan R_j bulunmuş olur.

Jeans Yoğunluğu

Jeans yoğunluğunu M‘ye bağlı olarak yazmak için, \text{(7)} numaralı denkleme geri dönelim.

(11)   \begin{equation*} \frac{3}{5}\text{G}M^{2/3}>\frac{3\text{kT}}{\mu m_H} \Bigg(\frac{3}{4\rho \pi}\Bigg)^{1/3} \end{equation*}

Eğer her iki tarafın karesini alarak; M^2 ile \rho‘nun yerini değiştirelim.

(12)   \begin{equation*} \rho>\Bigg(\frac{5\text{kT}}{\mu m_H}\Bigg)^3\Bigg( \frac{3}{4\pi M^2} \Bigg) =\rho_j \end{equation*}

Böylelikle bulutsunun çökmesi için gerekli minimum yoğunluk değeri olan \rho_j elde edilir.

Ögetay Kayalı

Kaynaklar
1. Melike Afşar, Solar System ders notları, Ege Üniversitesi Astronomi ve Uzay Bilimleri Bölümü
2. K.S.De Boer and W.Seggewiss, Stars and Stellar Evolution, 7.3.1 Gravitational Instability (Jeans Instability), 106

Bize destek olarak daha çok içerik üretmemize katkıda bulunun!

Related posts

LIGO Kütle Çekim Dalgaları Yaratabiliyor

Nazlı Turan

Elektromanyetik Dalgalar: Radyo Dalgaları

Emir Haliki

Cassini ile İhtişamın Merkezine Gidiyoruz!

Rasyonalist

2 yorumlar

Yıldız Astrofiziği: Çökme Süresi (Serbest Düşme Zamanı) | Rasyonalist.org 17 Aralık 2016 at 23:51

[…] Jeans kriterleri, bulutun çökme koşullarını belirlediğine göre, Jeans yoğunluğunu bu eşitlikte yerine koyarak, bir bulutun çökme süresini bulabiliriz. 20 K sıcaklığındaki bir bulutun Jeans yoğunluğu, 1 Güneş kütlesi için 10^{-19}text{ g cm}^{-3} olduğuna göre, bu Jeans yoğunluğuna sahip bulut için yıl cinsinden çökme süresinin yoğunluğa bağlı grafiği aşağıdaki gibidir. (Bkz. Jeans Kriterleri) […]

Yıldız Nasıl Oluşur? | Rasyonalist.org 6 Ağustos 2017 at 21:00

[…] bir gaz ve toz bulutu aldığımızı düşünelim. Eğer bu gaz ve toz bulutu yıldız oluşturabilecek koşullara sahipse, yıldız oluşum bölgesi olarak adlandırılır ve kapak fotoğrafındaki gibi […]

Yorum Bırakın