Kuantum Mekaniği: Kare Kuyu Potansiyeli 1

Kuantum mekaniğinin temel konseptlerini anlama maceramızda bir diğer önemli durağımız, kare kuyu potansiyeli. Matematiksel işlemlere geçmeden önce örneğimizi anlamaya çalışalım.
Öncelikle kare kuyu potansiyelimizi tanımlayalım ve görselleştirelim:

Tıpkı diğer örneklerde olduğu gibi, bu örnekte de iki durumdan söz edebiliriz. Söz konusu iki durum, önceki örneklerde olduğu  gibi, enerjinin sıfırdan büyük olduğu ve küçük olduğu durumlardır.
Enerjinin sıfırdan büyük olduğu durum, konsept olarak diğer örneklerle benzerlik gösterir. Değişen potansiyel etkisiyle, dalga fonksiyonunun dalga numarası değişir ve potansiyel değişiminin etkisiyle, gelen dalganın bir kısmı yansır. Bu yansıma, belirli durumlarda maksimum, belirli durumlarda ise minimum değerine ulaşır.
Enerjinin sıfırdan küçük olduğu durum ise E>0 durumundan yeni bir konsepti karşımıza çıkartır. Parçacığın x=-a ve x=a arasındaki bölgedeki davranışı, bağlı durumlar oluşmasını mümkün kılar. Yani, "belirli enerji seviyeleri" karşımıza çıkmış olur. Nükleer fizikte de son derece önemli bir konsept olduğu için, özellikle bu kısım üzerinde epey bir zaman harcayacağız.
Fiziği, matematik dışında bir dil ile ifade etmek çoğu zaman zordur. Lakin konu kuantum mekaniği olduğunda, mesele daha da güç bir hal alır. Her ne kadar sezgisel bir anlayış için bu tarz sözel açıklamalar kritik olsa da; kuantum mekaniğinin matematiği ile uğraşıp kendi içimizde sezgisel bir kavrayış geliştirmemiz çok daha sağlıklıdır.
Bu sebeple, kelimelere daha fazla boğulmadan konsepti matematiksel olarak incelemeye geçmek yerinde olacaktır. Kavraması nispeten daha kolay olduğu için, E>0 durumuyla başlayalım.

Kare Kuyu Potansiyeli E>0 Durumu

Öncelikle klasik durumu düşünelim. Enerjisi 0'dan büyük olan klasik parçacığımızın, geri yansıması gibi bir ihtimal söz konusu değildir. Yalnızca, momentumunda değişim meydana gelir.
Kuantum mekaniğinde ise, yansıma için elde ettiğimiz değer, yukarıda da bahsettiğimiz gibi sıfırdan farklıdır.
Şimdi, x<-a, -a<x<a ve x>a bölgelerini sırasıyla 1, 2 ve 3 olarak adlandıralım. Hatırlayacağınız gibi, zamandan bağımsız Schrödinger denklemi:

şeklindeydi. Dalga numaralarını temsil etmesi adına, k ve q ifadelerini tanımlayalım:

3 farklı bölge için, Schrödinger denklemini yazıp düzenleyecek olursak denklemler;

şeklini alır. Bu ikinci derece diferansiyel denklemlerin çözümü de

şeklindedir. Burada, C ile başlayan ifade, ∞'dan kuyu potansiyele doğru gelmekte olan parçacığı temsil eder. Böyle bir yansıma olmayacağından, C=0 olmalıdır.
Dalga fonksiyonları için akı tanımını, basamak potansiyeli 1 yazımızda uzunca ele almıştık. Tekrara düşmemek adına, şimdi her bir bölgedeki dalga fonksiyonu için akıları doğrudan yazalım. Bu akıların her bölgedeki toplamı, korunum prensibi gereği birbirine eşit olmalıdır. Öyleyse akı ifadeleri:

halini alır. x=a ve x=-a noktalarında, yan yana olan iki bölgedeki dalga fonksiyonu ve bu fonksiyonların birinci türevleri birbirine eşit olması gerektiğinden,

ifadeleri elde edilir. Bu özelliğe, süreklilik özelliği de denir. İlk iki ifadeyi kullanarak B'nin T cinsinden ifadesini, sonraki iki ifadeden ise A'nın T cinsinden ifadesini elde edebiliriz. Yani:

halini alır. Şimdi, Bu iki ifadeyi, süreklilik özelliğini kullanarak elde ettiğimiz dört denklemden 1.sine yazalım.

exp(-2iqa) ve exp(2iqa) ifadelerinin yerine Euler formülü yardımıyla trigonometrik karşılıklarını yazarsak ve sadeleştirmenin ardından her iki tarafı exp(ika) ifadesine bölersek:

ifadesini elde ederiz. Bu ifadeyi "*" ile temsil edelim. Şimdi, benzer şekilde yukarıdaki dört denklemden ikincisine, A ve B'nin karşılıklarını yazalım ve bir denklem daha elde edelim.

Benzer şekilde bu ifadeye de gerekli düzenlemeleri yaparsak:

ifadesini elde ederiz. Bu ifadeyi ve "*" ifadesini kullanarak, R'yi T, k ve q cinsinden yazabiliriz.

Bu noktadan sonra, muhtemelen takip edeceğimiz adımlar zihninizde netleşmeye başlamıştır. Bizlerin de en keyif aldığı nokta, adeta "çorap söküğü gibi" birbirine bağlı sonuçların kullanıldığı bu aşamadır. Devam edecek olursak, tahmin edebileceğiniz gibi bir sonraki adımımız, yukarıdaki "*" ifadesine, R'yi yerleştirmek olacaktır.

İşte! Nefes kesici sonucumuza ulaştık. T'yi, yani bizi "parçacığın iletilme olasığına götürecek olan kat sayıyı", yalnızca k ve q cinsinden yazmış olduk. Bu ifadeyi, R için bulduğumuz eşitliğe yerleştirerek, R için yani yansıma miktarı için de bir ifade elde edebiliriz. Lakin biz bunu, basit ve keyifli bir matematik çalışması olacağı için, burada yapmayacağız.
Yinebasamak potansiyeli 1 yazımızda derinlemesine incelediğimiz gibi, |T²| bize, iletim olasılığını verecektir. Yazımızın son kısmında biz de, bulduğumuz bu T ifadesi için |T²|'i hesaplayacağız.

q²-k² ve kq ifadelerini, q ve k ifadelerini yerine yazarak düzenlersek,

elde etmiş oluruz. İşte! Kare kuyu potansiyel örneğinde, enerji sıfırdan büyük olduğunda, klasik modelin aksine yansımanın gerçekleştiğini gösterdik. Parçacığın iletilme olasılığını (dolayısıyla yansıma olasılığı) da matematiksel olarak ifade ettik.

Sinüs fonksiyonu içeren bu ifade, qa=nπ/2 durumunda maksimum değerine ulaşır. Bu durum, Ramsauer-Townsend etkisi olarak da bilinir. Bu etki, elektronların, element atomlarıyla çarpışmaları incelenirken gözlemlenmiştir.
Ege Can KARANFİL
Referanslar
1. Stephen Gasiorowicz, Quantum Physics, 3rd Edition
2. Prof. Dr. Osman Yılmaz, Quantum Physics ders notları
3. David J. Griffiths, Introduction to Quantum Mechanics, 2nd edition
4. Prof. Dr. Gürsevil TURAN, Quantum Physics ders notları
Kapak Görseli
1. https://online.stanford.edu/courses/soe-yeeqmse01-quantum-mechanics-scientists-and-engineers
Ramsauer-Townsend Grafik Referansı
1.https://physicsopenlab.org/2016/08/16/ramsauer-townsend-effect/