FizikKuantum MekaniğiMatematik

Kuantum Mekaniği: Schwarz Eşitsizliğinin Çözümü

Kuantum mekaniğinde sıklıkla karşımıza çıkan Schwarz eşitsizliğine dair, Griffiths’in kitabında verilen bir sorunun çözümünü ele almak istedik. Aradığınızda Schwarz eşitsizliğinin elde edilişi ile ilgili farklı notasyonlar göreceksiniz. Soruda ise aşağıdaki kalıp verilerek mevcut bilgilerimizle eşitsizliğin gösterilmesi istenmiş.

Schwarz Eşitsizliği 1

Vektörlere dair iç çarpım özelliklerini kullanarak bu eşitsizliği elde etmek mümkündür. Aşağıdaki ifadeden faydalanalım.

Schwarz Eşitsizliği 2

Ayrıca biliyoruz ki;

Schwarz Eşitsizliği 3

Eğer (2) no’lu denklemi

Schwarz Eşitsizliği 4

ile çarparsak,

Schwarz Eşitsizliği 5

Burada çıkan bilmediğimiz terimlerin ne olduğunu da yine elimizdeki (2) no’lu denklem aracılığıyla araştırabiliriz. (5) no’lu denklemden gelen

Schwarz Eşitsizliği 6

olduğundan faydalanarak (2) no’lu ifadeyi

Schwarz Eşitsizliği 7

ile çarparsak

Schwarz Eşitsizliği 8

Eşitliği açarsak

Schwarz Eşitsizliği 9

Reel ifadeler için

Schwarz Eşitsizliği 10

ifadesini kullanırsak (7) no’lu denklemi aşağıdaki şekilde düzenleyebiliriz.

Schwarz Eşitsizliği 11

Böylelikte (5) no’lu ifadede elde ettiğimiz bilmediğimiz terimlerden birini bulduk. Geriye

Schwarz Eşitsizliği 12

ifadesini bulmak kaldı.

Schwarz Eşitsizliği 13

olduğundan

Schwarz Eşitsizliği 14

İfadeyi dağıtırsak;

Schwarz Eşitsizliği 15

Şimdi (5) no’lu denklemde (7) ve (10) no’lu denklemlerden elde ettiğimiz ifadeleri yerine yazarak denklemi aşağıdaki gibi yeniden yazabiliriz.

Schwarz Eşitsizliği 16

olduğundan;

Schwarz Eşitsizliği 17

Sonuç olarak Schwarz eşitsizliği sağlanır.

schwarz eşitsizliği

Ögetay Kayalı

Referanslar
1. Introduction to Quantum Mechanics, David J. Griffiths

Etiketler

Ögetay Kayalı

Ege Üni. Astronomi bölümünden birincilikle mezun olup, ilgili bölümde teorik kozmoloji üzerine bir yıl yüksek lisans yaptıktan sonra, İzmir Biyotıp ve Genom Enstitüsünde (iBG'de) Moleküler Biyoloji ve Genetik bölümünde yüksek lisansa geçiş yaparak bir yıl da burada lazerlerle, biyofotonik laboratuvarında optik görüntüleme üzerine çalışmalar yapmıştır.

Bir cevap yazın

Başa dön tuşu
Kapalı
Kapalı