21.4 C
İstanbul
17 Temmuz 2019
Fizik Kuantum Mekaniği Matematik

Kuantum Mekaniği: Schwarz Eşitsizliğinin Bir Çözümü

Kuantum mekaniğinde sıklıkla karşımıza çıkan Schwarz Eşitsizliği’ne dair, Griffiths’in kitabında verilen bir sorunun çözümünü ele almak istedik. Aradığınızda Schwarz Eşitsizliği’nin elde edilişi ile ilgili farklı notasyonlar göreceksiniz. Soruda ise aşağıdaki kalıp verilerek mevcut bilgilerimizle eşitsizliğin gösterilmesi istenmiş.

(1)   \begin{equation*}|\langle \alpha | \beta \rangle |^2 \leq \langle \alpha | \alpha \rangle \langle \beta | \beta \rangle\end{equation*}

Vektörlere dair iç çarpım özelliklerini kullanarak bu eşitsizliği elde etmek mümkündür. Aşağıdaki ifadeden faydalanalım.

(2)   \begin{equation*}| \phi \rangle = |\beta\rangle - (\,\langle\alpha|\beta\rangle/\langle\alpha|\alpha\rangle)\,|\alpha\rangle\end{equation*}

Ayrıca biliyoruz ki;

(3)   \begin{equation*}\langle\alpha|\alpha\rangle\geq 0\end{equation*}

Eğer (2) no’lu denklemi \langle\phi| ile çarparsak,

(4)   \begin{equation*}\langle\phi|\phi\rangle=\langle\phi|\bigg(|\beta\rangle-\frac{\langle\alpha|\beta\rangle}{\langle\alpha|\alpha\rangle}|\alpha\rangle\bigg)\end{equation*}

(5)   \begin{equation*}=\langle \phi | \beta \rangle - \frac{\langle\alpha|\beta\rangle}{\langle\alpha|\alpha\rangle} \langle \phi | \alpha \rangle \end{equation*}

Burada çıkan bilmediğimiz terimlerin ne olduğunu da yine elimizdeki (2) no’lu denklem aracılığıyla araştırabiliriz. (5) no’lu denklemden gelen \langle\phi|\beta\rangle ifadesi için \langle\phi|\beta\rangle^*=\langle\beta|\phi\rangle olduğundan faydalanarak (2) no’lu ifadeyi \langle\beta| ile çarparsak

(6)   \begin{equation*}\langle\beta|\phi\rangle=\langle\beta|\bigg(|\beta\rangle-\frac{\langle\alpha|\beta\rangle}{\langle\alpha|\alpha\rangle}\bigg)|\alpha\rangle\end{equation*}

Eşitliği açarsak

(7)   \begin{equation*}\langle\beta|\phi\rangle=\langle\beta|\beta\rangle - \frac{\langle\alpha|\beta\rangle}{\langle\alpha|\alpha\rangle}\langle\beta|\alpha\rangle\end{equation*}

Reel ifadeler için \langle\alpha|\beta\rangle=\langle\beta|\alpha\rangle ifadesini kullanırsak (7) no’lu denklemi aşağıdaki şekilde düzenleyebiliriz.

(8)   \begin{equation*}\langle\beta|\phi\rangle=\langle\beta|\beta\rangle-\frac{|\langle\alpha|\beta\rangle|^2}{\langle\alpha|\alpha\rangle}\end{equation*}

Böylelikte (5) no’lu ifadede elde ettiğimiz bilmediğimiz terimlerden birini bulduk. Geriye \langle\phi|\alpha\rangle ifadesini bulmak kaldı. \langle\phi|\alpha\rangle^*=\langle\alpha|\phi\rangle olduğundan

(9)   \begin{equation*}\langle\alpha|\phi\rangle = \langle\alpha|\bigg(|\beta\rangle-\frac{\langle\alpha|\beta\rangle}{\langle\alpha|\alpha\rangle}\bigg)|\alpha\rangle\end{equation*}

İfadeyi dağıtırsak;

(10)   \begin{equation*}\langle\alpha|\phi\rangle = \langle\alpha|\beta\rangle-\frac{\langle\alpha|\beta\rangle}{\langle\alpha|\alpha\rangle}\langle\alpha|\alpha\rangle=0\end{equation*}

Şimdi (5) no’lu denklemde (7) ve (10) no’lu denklemlerden elde ettiğimiz ifadeleri yerine yazarak denklemi aşağıdaki gibi yeniden yazabiliriz. \langle\phi|\phi\rangle\geq0 olduğundan;

(11)   \begin{equation*}\langle\beta|\beta\rangle-\frac{|\langle\alpha|\beta\rangle|^2}{\langle\alpha|\alpha\rangle}\geq0\end{equation*}

Sonuç olarak Schwarz Eşitsizliği sağlanır.

(12)   \begin{equation*}|\langle \alpha | \beta \rangle |^2 \leq \langle \alpha | \alpha \rangle \langle \beta | \beta \rangle\end{equation*}

Ögetay Kayalı

Kaynaklar
1. Introduction to Quantum Mechanics, David J. Griffiths

Bize destek olarak daha çok içerik üretmemize katkıda bulunun!

Related posts

Project Euler 9: Özel Pisagor Üçlüsü

Ögetay Kayalı

Bilim İnsanları 1 Kilometre Uzaktan Radyoaktif Maddeleri Nasıl Algılayacaklarını Buldular!

Ege Can Karanfil

Bohr Devrimi: Kuantumlu Atom Modeli

Ege Can Karanfil

Yorum Bırakın