FizikKuantum MekaniğiMatematik

Kuantum Mekaniği: Schwarz Eşitsizliğinin Çözümü

Kuantum mekaniğinde sıklıkla karşımıza çıkan Schwarz eşitsizliğine dair, Griffiths’in kitabında verilen bir sorunun çözümünü ele almak istedik. Aradığınızda Schwarz eşitsizliğinin elde edilişi ile ilgili farklı notasyonlar göreceksiniz. Soruda ise aşağıdaki kalıp verilerek mevcut bilgilerimizle eşitsizliğin gösterilmesi istenmiş.

Schwarz Eşitsizliği 1 Kuantum Mekaniği: Schwarz Eşitsizliğinin Çözümü

Vektörlere dair iç çarpım özelliklerini kullanarak bu eşitsizliği elde etmek mümkündür. Aşağıdaki ifadeden faydalanalım.

Schwarz Eşitsizliği 2 Kuantum Mekaniği: Schwarz Eşitsizliğinin Çözümü

Ayrıca biliyoruz ki;

Schwarz Eşitsizliği 3 Kuantum Mekaniği: Schwarz Eşitsizliğinin Çözümü

Eğer (2) no’lu denklemi

Schwarz Eşitsizliği 4 Kuantum Mekaniği: Schwarz Eşitsizliğinin Çözümü

ile çarparsak,

Schwarz Eşitsizliği 5 Kuantum Mekaniği: Schwarz Eşitsizliğinin Çözümü

Burada çıkan bilmediğimiz terimlerin ne olduğunu da yine elimizdeki (2) no’lu denklem aracılığıyla araştırabiliriz. (5) no’lu denklemden gelen

Schwarz Eşitsizliği 6 Kuantum Mekaniği: Schwarz Eşitsizliğinin Çözümü

olduğundan faydalanarak (2) no’lu ifadeyi

Schwarz Eşitsizliği 7 Kuantum Mekaniği: Schwarz Eşitsizliğinin Çözümü

ile çarparsak

Schwarz Eşitsizliği 8 Kuantum Mekaniği: Schwarz Eşitsizliğinin Çözümü

Eşitliği açarsak

Schwarz Eşitsizliği 9 Kuantum Mekaniği: Schwarz Eşitsizliğinin Çözümü

Reel ifadeler için

Schwarz Eşitsizliği 10 Kuantum Mekaniği: Schwarz Eşitsizliğinin Çözümü

ifadesini kullanırsak (7) no’lu denklemi aşağıdaki şekilde düzenleyebiliriz.

Schwarz Eşitsizliği 11 Kuantum Mekaniği: Schwarz Eşitsizliğinin Çözümü

Böylelikte (5) no’lu ifadede elde ettiğimiz bilmediğimiz terimlerden birini bulduk. Geriye

Schwarz Eşitsizliği 12 Kuantum Mekaniği: Schwarz Eşitsizliğinin Çözümü

ifadesini bulmak kaldı.

Schwarz Eşitsizliği 13 Kuantum Mekaniği: Schwarz Eşitsizliğinin Çözümü

olduğundan

Schwarz Eşitsizliği 14 Kuantum Mekaniği: Schwarz Eşitsizliğinin Çözümü

İfadeyi dağıtırsak;

Schwarz Eşitsizliği 15 Kuantum Mekaniği: Schwarz Eşitsizliğinin Çözümü

Şimdi (5) no’lu denklemde (7) ve (10) no’lu denklemlerden elde ettiğimiz ifadeleri yerine yazarak denklemi aşağıdaki gibi yeniden yazabiliriz.

Schwarz Eşitsizliği 16 Kuantum Mekaniği: Schwarz Eşitsizliğinin Çözümü

olduğundan;

Schwarz Eşitsizliği 17 Kuantum Mekaniği: Schwarz Eşitsizliğinin Çözümü

Sonuç olarak Schwarz eşitsizliği sağlanır.

schwarz eşitsizliği

Ögetay Kayalı

Referanslar
1. Introduction to Quantum Mechanics, David J. Griffiths

Ögetay Kayalı

Rasyonalist kurucu, editör ve kıdemli yazar. NASA'nın APOD platformunda görevli olmak üzere, Michigan Tech. Üniversitesinde araştırma görevlisi olarak Astrofizik üzerine doktora yapmaktadır. Ege Üni. Astronomi ve Uzay Bilimleri Bölümünden birincilikle mezun olduktan sonra bir yıl kozmoloji üzerine yüksek lisans, ardından bir yıl da İzmir Uluslararası Biyotıp ve Genom Merkezinde Moleküler Biyoloji ve Genetik üzerine yüksek lisans yapmıştır.

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

Başa dön tuşu