Kalkülüs

Sayısal Analiz: Newton Raphson Yöntemi

Sayısal (nümerik) analizde Newton-Raphson yöntemi, çok sık kullanılan, hızlı (kuadratik) bir yakınsama sağlayan yerel yöntemlerden biridir. Bu sebeple çözüm yapabilen hesap makinelerinin önemli bir kısmı, yöntem olarak Newton Raphson yöntemini kullanır. Bilinen bir fonksiyonun kök değerini bulmak için, yalnızca tek bir keyfi xi başlangıç değeri belirleyerek, bu değer ile fonksiyonun bu noktadaki değeri ve fonksiyonun türevinin bu noktadaki değerini kullanarak iterasyon yapar.

Farz edelim ki herhangi bir xi keyfi değerini seçtik. Yapmamız gereken, bu noktaya karşılık gelen f(xi) değerini hesaplamaktır. Bu noktadan sonra fonksiyona (xi,f(xi)) noktasından bir teğet çizilir. Çizilen teğetin x eksenini kestiği nokta, yeni xi+1 değeri olarak ele alınır ve aynı işlem xi+1 için uygulanır. İterasyon formu aşağıdaki gibi gösterilir.

Newton Raphson



Avantajları ve Dezavantajları

Newton-Raphson yönteminin en önemli avantajı, oldukça hızlı (kuadratik bir biçimde) yakınsıyor oluşudur. Bunun yanında ikiye bölme (bisection) yönteminde olduğu gibi bir aralık yerine yalnızca bir başlangıç değeri tahminine ihtiyaç duyar.

Fakat paydadaki bölü ifadesinden dolayı, bazen sıfıra bölme sorun yaratabilir. İspat videosunda da gösterdiğimiz üzere bu durum, teğetin x eksenine paralel hale gelmesinden ve herhangi bir noktada x eksenini kesemeyip, yeni x değeri belirleyememesinden kaynaklanır. Bunun yanında videoda da açıkladığımız, fonksiyonun kökünün etrafında salınım (osilasyon) yapma problemi ve kökü yanlışlıkla kaçırma gibi problemleri de bulunur. Fakat tüm bunlara rağmen, işlem verimliliği sayesinde sıklıkla tercih edilir.

Newton Raphson Yönteminin İspatı

Newton Raphson Yöntemi Örnek Soru Çözümü

Ögetay Kayalı

Referanslar
1. Turgut Öziş, Ege Üniversitesi Matematik Bölümü, Nümerik Analiz ders notları
2. <http://mathworld.wolfram.com/NewtonsMethod.html>
3. <https://www.math.ubc.ca/~anstee/math104/104newtonmethod.pdf>

Etiketler

Ögetay Kayalı

Rasyonalist kurucu, editör ve yazar. Michigan Tech. Üniversitesi Fizik bölümünde araştırma görevlisi olarak doktorasını yapmaktadır. Öncesinde Ege Üni. Astronomi bölümünden birincilikle mezun olup burada bir yıl kozmoloji üzerine yüksek lisans yapmıştır. Ayrıca İzmir Biyotıp ve Genom Enstitüsünde, Moleküler Biyoloji ve Genetik bölümünde bir yıl yüksek lisansını gerçekleştirdiği sırada lazerli biyofotonik görüntüleme teknikleri üzerine çalışmalarda bulunmuştur.

Bir cevap yazın

Başa dön tuşu
Kapalı
Kapalı