5.9 C
İstanbul
14 Aralık 2018
Algoritmalar Matematik

Project Euler 3: En Büyük Asal Çarpan

Soru: 13195 sayısının asal çarpanları 5, 7, 13 ve 29’dur. 600851475143 sayının en büyük asal çarpanı nedir?

Project Euler’in üçüncü sorusunda karşımıza yine bir algoritma klasiği çıkıyor: Asal sayılar.

Asal sayıları elde edebileceğimiz bir sürü algoritma mevcut. Bunları incelemenizi şiddetle tavsiye ediyorum. Bir sayının asal sayı olup olmadığını denetlemenin en kaba yolu o sayıyı kendisine kadar olan sayma sayılarına bölmektir. Bu sayı bir ve kendisi hariç başka bir sayıya bölünmüyorsa asal bir sayıdır. Fakat bu yöntem fazlasıyla gereksiz işlem kalabalığına sahiptir. Örneğin hiçbir asal sayı çift değildir, çünkü çift her sayı ikinin bir katıdır. Bu yüzden her seferinde çift sayıları kontrol etmek anlamsızdır. (Takdir edersiniz ki bu iki kat fazla sayının kontrol edilmesi demek) Bu soruda biz de tam olarak bu mantıktan ilerleyen bir algoritmayı ele alacağız.

Eratosthenes’in Eleği Algoritması

Sieve_of_Eratosthenes_animation

Bu algoritma 2‘den başlayarak eleme yöntemiyle asal sayıların belirlenmesini sağlar. Öncelikle ilk sayı olan 2 asal olarak yazılır ve eldeki listeden 2‘nin katları silinir. Sonra sıradaki sayı olan 3‘e geçilir ve 3‘ün katları silinir. Sıradaki sayı 4 değildir, çünkü 2‘nin katı olduğundan elenmiştir. Dolayısıyla sıradaki sayı 5‘tir, asal olarak yazılır ve katları silinir. İşlem bu şekilde devam eder. Geriye kalan sayılar asal sayılardır.

Denetlemeyi sayının kareköküne kadar olan sayılara kadar yapmak yeterlidir. Örneğin 100 sayısının asal olup olmadığını denetlemek için \sqrt100=10‘a kadar olan sayılara bakmak yeterlidir. (Bu yöntemin bizi ne kadar işlem kalabalığından kurtardığına dikkat edin.)

Eğer sayıları bir dizide kabul eder ve dizinin asal olmayan elemanlarına yanlış değerini atarsak, dizinin doğru olan elemanlarının numarası bize asal sayıları verir. Böylece kodumuz aşağıdaki şekilde olur.

static ArrayList SieveOfEratosthenes(int AsalLimit)
{
    BitArray bitArray = new BitArray(AsalLimit, true);

    int SonAsal = 1;
    int SonAsalKok = 1;

    while (SonAsalKok <= AsalLimit)
    {
        SonAsal++;

        while (!(bool)bitArray[SonAsal])
            SonAsal++;

        SonAsalKok = SonAsal * SonAsal;

        for (int i = SonAsalKok; i < AsalLimit; i += SonAsal)
            if (i > 0)
                bitArray[i] = false;
    }

    ArrayList AsalSayılar = new ArrayList();

    for (int i = 2; i < AsalLimit; i++)
        if (bitArray[i])
            AsalSayılar.Add(i);

    return AsalSayılar;
}

Şimdi yapmamız gereken işlem, bize verilen sayı olan 600851475143‘ün karaköküne kadar olan asal sayıları Eratosthenes’in Eleği yöntemini kullanarak oluşturmak. Ardından sayımızı bu asal sayılara bölerek, hangisinin en büyük asal çarpan olacağını bulabiliriz.

int AsalLimit = (int)Math.Sqrt(600851475143);
ArrayList Asallar = SieveOfEratosthenes(AsalLimit);

    foreach (int Asal in Asallar)
    {
        if (600851475143 % Asal == 0)
        {
            Console.WriteLine(Asal);
        }
    }

Sonuç: 71, 839, 1471, 6857 olarak bulunur.

Ögetay Kayalı

Bize destek olarak daha çok içerik üretmemize katkıda bulunun!

Related posts

Kuantum Mekaniği: Schwarz Eşitsizliğinin Bir Çözümü

Ögetay Kayalı

Küresel Koordinatlar

Ögetay Kayalı

Project Euler 1: 3 ve 5’in Katları

Ögetay Kayalı

2 yorumlar

Rasyonalist.org | Project Euler 7: 10001. Asal Sayı 22 Ekim 2016 at 11:29

[…] bu problemi daha önce çözdük. Problem 3'te, en büyük asal çarpanı bulmamızı isterken, asal sayıları bulan bir algoritma […]

Project Euler 7: 10001. Asal Sayı 25 Kasım 2017 at 01:45

[…] bu problemi daha önce çözdük. Problem 3'te, en büyük asal çarpanı bulmamızı isterken, asal sayıları bulan bir algoritma […]

Yorum Bırakın