AlgoritmalarMatematik

Project Euler 2: Çift Fibonacci Sayıları

Project Euler 2: Fibonacci dizisindeki her yeni terim, önceki iki terimin toplamıdır. 1 ve 2’den başlanarak ilk 10 terim şu şekildedir: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, … Dört milyonu aşmayacak şekilde çift Fibonacci terimlerinin toplamı nedir?

Project Euler 2 sorusuyla birlikte algoritma sorularının vazgeçilmezi olan Fibonacci dizisiyle karşılaşıyoruz. Fibonacci dizilerini elde edebileceğiniz birçok algoritma mevcut, mutlaka bunlara göz atmanızı öneririm. Özellikle özyinelemeli (recursive) fonksiyonlar konusunun vazgeçilmez örneklerindendir. Burada oldukça basit bir metodu kullanacağım. Öncelikle Fibonacci dizisini elde edeceğimiz algoritmayı belirleyelim, ardından 4000000‘a kadar olan bu sayılardan hangileri çift onlara bakacağız ve çift olanların toplamının kaç ettiğini bulacağız.

Yapmamız gereken Fibonacci dizisinin temel kuralını uygulayarak sırayla sayı dizisinin elemanlarını elde etmek ve kaba bir yaklaşımla bu sayıların çift olup olmadığını denetlemek, eğer çiftse toplama eklemek olacak. Bunun için üç tane değişken tanımlıyoruz f1, f2 ve f3. Bunlar dizinin ilk üç elemanı olsun. Bu durumda f3 = f1 + f2 olacağı açıktır. Çünkü Fibonacci dizisinde sıradaki terim, önceki iki terimin toplamıdır. Buraya kadar tamam, peki bundan sonrasını nasıl elde edeceğiz?

Sıradaki terim f2+f3 olacak. Fakat bunu elimizdeki üç değişkeni kullanarak yapmalıyız, çünkü her seferinde yeni bir değişken tanımlayamayız. Zaten tanımlayabilseydik bile bu çok verimsiz bir yöntem olurdu. Bunun yerine değişkenleri öteleyeceğiz. Yeni sıralamamızdaki ilk terim şu an elimizde olan f2 olacak, dolayısıyla onu f1 yapıyoruz. Şu an elimizde bulunan f3‘ü ise f2 yapıyoruz. Böylelikle sayılarımızı birer ötelemiş olduk. Şimdi yapacağımız sıradaki sayıyı belirleme işlemi yine f1+f2 olacak, fakat bu değişkenler önceki değişkenler olduğundan aslında eskiye göre yaptığımız işlem f2+f3 oldu ki biz de tam olarak bunu istiyorduk.

C# Çözümü

Böylelikle sonuç: 4613732 olarak bulunur.

Python Çözümü

Execution time 7.152557373046875e-06 seconds
Sum: 4613732

Matematiksel Yaklaşım

Soruda f1 = 1 ve f2 = 2 olarak başlamamız isteniyor. (1) no’lu diziye baktığımızda çift sayılarla ilgili bir düzen fark ediyoruz. Her üç sayıda bir çift sayıyla karşılaşıyoruz. Bu durum başlangıç koşullarını göz önüne aldığımızda gayet mantıklı görünüyor. (2) no’lu ifadeyi çiftlik teklik cinsinden tekrar yazalım.

Burada çift olma durumunu belirleyen faktör T’nin başına gelen katsayıdır. Çünkü C ne ile çarpılırsa çarpılsın sonuç C olacaktır. Ancak C+C = C olacağından, çiftlik durumunu T’nin başındaki katsayı belirler. Bu katsayı her üç tekrarda bir çift olmaktadır.

Böylelikle her sayının tek tek çift olup olmadığını kontrol etmek yerine, her üç seferde bir tekrarlayan elemanlara bakmak yeterli olacaktır.

Lakin Fibonacci sayı dizimiz oldukça kısa olduğundan, bu işlemin süre açısından çok da faydalı olmayacağını fakat başka sorularda işimize yarayabilecek bir bakış açısı olduğuna dikkat edelim.

Ögetay Kayalı

Ögetay Kayalı

Rasyonalist kurucu, editör ve kıdemli yazar. NASA'nın APOD platformunda görevli olmak üzere, Michigan Tech. Üniversitesinde araştırma görevlisi olarak Astrofizik üzerine doktora yapmaktadır. Ege Üni. Astronomi ve Uzay Bilimleri Bölümünden birincilikle mezun olduktan sonra bir yıl kozmoloji üzerine yüksek lisans, ardından bir yıl da İzmir Uluslararası Biyotıp ve Genom Merkezinde Moleküler Biyoloji ve Genetik üzerine yüksek lisans yapmıştır.

Bir cevap yazın

Başa dön tuşu