GeometriMatematikPopüler Bilim

Pisagor Teoremi Nedir?

Hikayenin Öne Çıkanları
  • Pisagor Kimdir?
  • Öklid'in İspatı
  • Bhaskara'nın İspatı
  • Pisagor Üçgeni ile Alanlar Arasındaki İlişki
  • Hiperbolik Üçgen ve Pisagor Bağıntısı

Pisagor teoremine göre; bir dik üçgenin iki dik kenarının uzunluklarının kareleri toplamı, “hipotenüs” olarak adlandırılan üçüncü kenarın uzunluğunun karesine eşittir. Bu teorem adını ünlü Yunan düşünür Pisagor’dan alır.

Eğer bu iki kenara a ve b der, hipotenüsü de c dersek, Pisagor teoremini a2+b2=c2 şeklinde ifade edebiliriz. Bu durum aslında Öklidyen geometride (Euclidean geometry) geçerlidir. Fakat eğitim hayatlarımızın önemli bir süresi boyunca sadece Öklidyen geometride çalıştığımız için bu durum genellikle biraz göz ardı edilir.

Pisagor’dan bu yana Pisagor teoremi üzerinde çalışan matematikçiler şöyle bir genellemeye ulaşmıştır:

n pozitif bir doğal sayı olmak üzere;

  • a = 2n + 1
  • b = 2n2 + 2n
  • c = 2n2 + 2n + 1

eşitliklerini sağlayan tüm a, b ve c doğal sayıları, a2 + b2 = c2 eşitliğini de sağlar [1].

Bu teoreme göre dik üçgen oluşturabilecek çeşitli tamsayı kümeleri vardır. Örneğin 3, 4, 5 bunlardan biridir çünkü 32 + 42 = 52 eder. Bu kombinasyon ve bunun türevleri, (6, 8, 10 ya da 1, 3/4, 5/4 gibi) antik Mısır, Çin, Babil ve Hint uygarlıklarında genellikle inşaat işlerinde kullanılmıştır. Ancak şu an kısa bir cümle ile teoremi anlatabiliyorsak bunu Pisagor’a borçluyuz çünkü bin küsur yıldır kullanılan yöntemi gözlemleyip formülleştiren kendisi olmuştur [2, 3].

Efsaneye göre Pisagor, sarayda Samos tiranı Polycrates’i beklerken sıkılır ve yerdeki fayans döşemeyi incelemeye başlar. Buradaki motiften, dik üçgenlerin hipotenüs kenarındaki karelerin alanlarının, diğer iki kenardaki karelerin alanlarına eşit olduğunu fark eder ve sonrasında ünlü Pisagor teoremini geliştirir [2].

Pisagor Teoreminin Deneyi

Pisagor teoreminin birçok ispatı var ve elbette su götürmez bir gerçek. Fakat insanlar olarak bazen bazı şeyleri gözle görmek, konuyu çok daha iyi kavramamızı sağlayabiliyor. Bu nedenle Pisagor teoremini, görsel olarak basit bir deneysel doğrulama yaparak, özellikle bu konuyu yeni öğrenen öğrencilere çok daha açıklayıcı bir biçimde anlatabilirsiniz. Aşağıdaki GIF bize bunu harika bir şekilde gösteriyor.

pisagor teoremi ispat deney

Pisagor Kimdir?

Yerdeki döşemeye bakıp hem kendi adıyla anılacak hem de asırlar boyunca kullanılacak bir teorem geliştirmek Pisagor’un büyük bir şansı gibi görünebilir fakat Pisagor’un şansı o anda orada bulunması değil, Miletli Tales gibi önemli bir öğretmene sahip olmuş olmasıydı. Tales sayesinde matematik ve astronomiyle tanışmış ve yine onun sayesinde Mısır’a bu alanlarda eğitim görmeye gidebilmişti.

Pisagor’un gördüğü eğitim, matematiğin doğadaki yerini ve önemini kavramasını sağlamıştı. Doğanın ve doğadaki düzenin sayılarla açıklanabileceğine inanıyordu. Bu nedenle tek, çift, üçgensel ve mükemmel sayıların özelliklerini inceledi.

Pisagor ve takipçilerinin tarihte büyük bir yeri var ancak bunun tek nedeni elbette Pisagor’un dik üçgenlerle ilgili teoremi değil. Bunun yanında geometriye bilimsel bir bakış getirmeleri, bulgularını sistemli kanıtlara dayandırmaları onların önemini artırdı [2]. Yaklaşık 250 yıl sonra ise bugün bile neredeyse aynen kullandığımız Öklid’in “Elementler” adlı eserinin oluşmasına zemin hazırlamıştır.

Öklid’in İspatı

Elementler’de Öklid, Pisagor bağıntısını şu şekilde ispatlar:

Öklid'in Pisagor teoremi için yaptığı ispatı örnekleyen görsel

Öncelikle A açısı dik olacak şekilde bir ABC üçgeni çizer. Bir kenarı ABC üçgenin kenar uzunlukları kadar olan kareleri, bu üçgenin etrafına yerleştirir ve A köşesinden DE kenarına bir dikme indirir. İspatın sonunda pembe alanlar ile mavi alanların birbirine eşit olduğunu ortaya koyar ve bu da iki küçük karenin alanları toplamının hipotenüsteki karenin alanına eşit olduğu anlamına gelir. Gelelim ispatın ayrıntılarına.

Öklid'in Pisagor teoremi için yaptığı ispatı örnekleyen görsel

Burada gösterildiği gibi DA ve IC doğru parçalarını çizdiğimizde oluşan içi taralı yeşil üçgenlerin alanları birbirine eşit olur. Çünkü DBA ile IBC açıları ve bu açıyı oluşturan kolların uzunlukları (b ve c kenarları) birbirine eştir. Kenar-açı-kenar benzerliğinden bu iki üçgenin eş üçgenler olduğunu söyleyebilir ve buradan da alanlarının da eşit olacağı sonucuna varabiliriz.

Aynı iki doğru arasında bulunan ve taban uzunlukları eşit olan bir dikdörtgen ve üçgenden, dikdörtgenin alanı üçgenin alanının iki katı olur. Bu durumda BDJK dikdörtgeninin alanı, BDA üçgenininkinin iki katı (ikisi de BD ve AJ paralel doğruları arasında); BAHI karesinin alanı da IBC üçgenininkinin (her ikisi de IB ve HC paralel doğruları arasında) iki katı olur. Üçgenlerin alanı eşit olduğundan, belirtilen dikdörtgenlerin alanları da eşit olacaktır.

Öklid'in Pisagor teoremi için yaptığı ispatı örnekleyen görsel

Yukarıda belirtilen işlemlerin aynısını bu kez de AE ve AF doğru parçalarını çizerek mavi taralı alanlar için yaptığımızda, bunların da birbirine eşit olduğunu görürüz.

Sonuçta mavi alanlar birbirine, pembe alanlar da birbirine eşitse karenin alan formülü gereği a2 + b2 = c2 demek mümkündür ve bu da Pisagor teoremini bize verir [3].

Bhaskara’nın İspatı

Tarih boyunca Pisagor teoremi birçok matematikçinin ilgi odağı olmuş ve 300’den fazla ispatı yapılmıştır [4]. Bhaskara da 12. yüzyılda yaşamış ve bu teoremle ilgilenmiş Hint bir matematikçidir [5]. Bhaskara, ispatına bir dik üçgen ile başlar. Şekildeki gibi bu üçgene ABC üçgeni diyelim.

Görsel: Angie Head, “Pythagorean Theorem”

Daha sonra bu üçgenin hipotenüs kenarına bir dikme indirelim (h ile gösterilen yer). Bu durumda üçgende benzerlik kuralları gereği (açı-açı benzerliği) CBE (üçgenin sağ yarısı) ve ABC (büyük üçgen) üçgenleri benzer olurlar çünkü B açısı ortaktır ve E ile C açıları her iki üçgenin de dik olan açılarıdır. Sonuç olarak bu iki üçgenin tüm iç açıları birbirine eşit olduğundan benzerlerdir diyebiliriz. Benzer olan bu iki üçgen arasında s/a = a/c bağıntısını yazmak mümkündür (burada c, AB kenarıdır). Eşitliğin her iki tarafını da ac ile çarptığımızda da sc = a2 sonucunu elde ederiz.

Bir önceki paragrafta belirtilenle aynı benzerlik kuralları gereği AEC üçgeni (üçgenin sol yarısı) ile ACB (büyük üçgen) üçgenleri de benzerdir. Bu durumda r/b = b/c eşitliğini yazabiliriz. Eşitliğin her iki tarafını bc ile çarptığımızda ise
rc = b2 sonucunu elde ederiz.

Bulduğumuz bu iki sonucu toplarsak;
sc + rc = a2 + b2 olur.

Eşitliğin sol tarafını c parantezine aldığımızda
c(s + r) = a2 + b2 olur.

c kenarı ise s ve r kenarlarının toplamına eşittir, diğer bir deyişle c = s + r ise;
c2 = a2 + b2 olur ve bu da Pisagor teoreminin kendisidir [6].

Pisagor Üçgeni ile Alanlar Arasındaki İlişki

Pisagor teoremi, bir dik üçgenin kenar uzunluklarıyla ilgili bir eşitlik olmasının yanında bu kenarlara yerleştirilecek düzgün şekillerin alanlarıyla da ilgili bir bağıntı verir. Zaten eğer hatırlayacak olursanız, efsaneye göre de Pisagor bu denkleme, fayans döşemelerindeki alanlardan yola çıkarak varmıştır.

Dik üçgenŞekilde gösterilen dik üçgende bir kenar uzunluğu a, b ve c kenarlarına eşit olacak şekilde, aynı (hepsine üçgen, hepsine beşgen vb.) düzgün geometrik şekiller yerleştirdiğimizde, a ve b kenarındaki şekillerin alanları toplamı, c kenarındakine eşit olur. Bu şekillere üçgenin her bir kenarını çap kabul eden daireler de dâhildir. Aşağıdaki görselde ne demek istediğimizi daha iyi anlayabilirsiniz.

Pisagor teoremi ile dik üçgenin kenarlarına yerleştirilen düzgün geometrik şekillerin alanları arasındaki ilişki

Buradaki her üç şekil için de yeşil ve mavi alanların toplamı, pembe alana eşittir [1].

Hiperbolik Üçgen ve Pisagor Bağıntısı

Hiperbolik geometri, Öklid’in beş aksiyomundan ilk dördünün geçerliliğini kabul ederken beşincisini etmeyen ve bunun üzerine kurulu Öklid dışı (non-Euclidean) bir geometridir [7].

Öklid Aksiyomları
  • Düz bir doğru parçası, iki noktanın birleştirilmesiyle ifade edilebilir.
  • Herhangi bir düz doğru parçası, düz bir doğru üzerinde sonsuza kadar uzatılabilir.
  • Herhangi bir düz doğru parçası için, bu parçası yarıçap olan ve bir noktası merkezi olan bir çember çizilebilir.
  • Tüm dik açılar birbirine eştir (congruent).
  • Herhangi bir doğru parçası ve onun üzerinde yer almayan bir nokta için, yalnızca ve yalnızca bir doğru parçası bu keyfi noktadan geçer ama ne kadar uzatılırsa uzatılsın doğruyu kesmez [10].

Belirttiğimiz gibi hiperbolik geometri Öklid’in beşinci aksiyomunu kabul etmez ve bir doğruya dışındaki bir noktadan en az iki paralel doğru çizilebileceğini söyler [7]. Hiperbolik geometri burada açıklayamayacağımız kadar geniş bir konu. Fakat hiperbolik üçgen ile Pisagor bağıntısı arasındaki ilişkiyi daha kolay anlatabilmek adına hiperbolik geometrinin ne olduğuna kısaca değindikten sonra konumuza geri döneceğiz.

Pringles’ların yüzeyi hiperbolik yüzeylere güzel bir örnektir (hyperbolic paraboloid). Elinize üçgen oluşturacak şekilde üç parça ip alıp bunları Pringles’ın üzerinde üçgen haline getirdiğinizi hayal edin. Oluşan üçgen alışık olduğumuz gibi dümdüz kenarlara sahip olmayacaktır. İşte bu üçgene hiperbolik üçgen denir ve iç açılarının toplamı 180°’den küçük olur [8]. Elinizdeki iplerle bir dik üçgen yapıp bunu Pringles’ın üzerine yerleştirdiğinizde ise bir hiperbolik dik üçgen elde etmiş olursunuz.

Matematikçiler, Pisagor teoreminin hiperbolik dik üçgenler için de geçerli olup olmayacağını merak etmiş ve bunları incelemişlerdir. Ve ne yazık ki yanıt hayır, Pisagor teoremi Öklidyen bir geometride geçerlidir. Ancak hiperbolik geometride Pisagor teoremine benzeyen başka bir eşitlik bulunur [9].

cosh(a).cosh(b) = cosh(c)

Burada cosh, hiperbolik kosinüs fonksiyonudur.


Hazırlayan: Arya Elçi
Editör: Ögetay Kayalı

Referanslar:
1. Recep Aslaner, Aziz İlhan, “Kare İçin İfade Edilen Pisagor Bağıntısının
Diğer Düzgün Çokgenlere ve Daireye Uygulanması”, < https://dergipark.org.tr/tr/download/article-file/496151 >
2. Darko Veljan, “The 2500-Year-Old Pythagorean Theorem”, <https://www.tandfonline.com/doi/abs/10.1080/0025570X.2000.11996853>
3. Cut The Knot, “Euclid’s Proof of Pythagoras’ Theorem (I.47)”, <https://www.cut-the-knot.org/pythagoras/Proof1.shtml>
4. “Pythagorean Theorem”,<http://www.faculty.umb.edu/gary_zabel/Courses/Phil%20281b/Philosophy%20of%20Magic/Arcana/Neoplatonism/Pythagoras/index.shtml.html#:~:text=The%20book%20is%20a%20collection,generalizations%20are%20far%20from%20obvious.>
5. Encyclopædia Britannica, Bhaskara II, <https://www.britannica.com/biography/Bhaskara-II>
6. Angie Head, “Pythagorean Theorem”, <http://jwilson.coe.uga.edu/EMT668/EMT668.Student.Folders/HeadAngela/essay1/Pythagorean.html>
7. Encyclopædia Britannica, “Hyperbolic geometry”, <https://www.britannica.com/science/hyperbolic-geometry>
8. Uncommon Nonsense, “Hyperbolic Geometry: An Introduction”, <https://www.youtube.com/watch?v=8mOjSllxp7Y>
9. Scott Taylor, The Geometric Viewpoint, “Pythagoras in the hyperbolic plane”, <http://web.colby.edu/thegeometricviewpoint/2014/03/28/pythagoras-in-the-hyperbolic-plane/>
10. Wolfram MathWorld, Euclid’s Postulates, <https://mathworld.wolfram.com/EuclidsPostulates.html>

Kapak Görseli:
Greece Greek Reporter, “Pythagoras: A Mysterious Personality, Religion and the Infamous Theorem” <https://greece.greekreporter.com/2014/05/25/pythagoras-a-mysterious-personality-religion-and-the-infamous-theorem/>

Arya Elçi

Rasyonalist araştırma yazar. Orta Doğu Teknik Üniversitesi (ODTÜ) Fizik lisans öğrencisi.
Başa dön tuşu