Nükleer Fizik: Yarı Ömür ve Bozunum Sabiti

Bir radyoaktif elementin yarı ömrü, söz konusu radyoaktif element hakkında bize en çok bilgi veren özelliğidir. Aktivitesini ve hatta bazı durumlarda radyoaktif izotopunçeşidini anlamamızı mümkün kılan yarı ömür kavramı, oldukça basit matematiksel ilişkiler kullanılarak türetilebilir.
Radyoaktif izotoplar, yüksek sayıda radyoaktif çekirdekten oluşurlar. Bu çekirdeklerin hepsi, aynı andabozunmazlar. Yukarıda dediğimiz gibi, süreç tamamen rasgeledir.
Verilen bir çekirdeğin ne zaman bozunacağını öngöremeyiz. Lakin, verilen bir örneğin ne kadarının verilen zaman aralığında bozunacağını hesaplayabiliriz.
Bu hesaplamayı yaparken, radyoaktif materyaldeki tüm çekirdeklerin bozunma ihtimalinin aynı olduğunu kabul ederiz.
Basitçe diyebiliriz ki bozunum miktarı, geçen zamanla doğru orantılıdır. Ayrıca, yine bozunum miktarı, elimizdeki örneğin içinde bulunan radyoaktif çekirdek sayısıyla da doğru orantılıdır. Yani:

ΔN∝ Δt
ve
ΔN ∝ N

Burada Δt geçen zaman, ΔN bozunum miktarı, N ise elimizdeki radyoaktif çekirdek miktarıdır. Öyleyse:

dN∝Ndt

Elimizdeki elementin radyoaktif çekirdek miktarı zamanla azalacağı için ve bu bozunum mekanizması her radyoaktif element için farklı süreler alacağı için,  aşağıdaki eşitliği yazabiliriz.

dN = - λN dt

Burada λ bozunum sabiti anlamına gelmektedir ve farklı izotoplar için farklı bir değere sahiptir. Ayrıca, λ arttığında, çekirdeğin bozunum oranının arttığını ve çekirdeğin daha radyoaktif olduğunu söyleriz.
4 numaralı denklem, çözümü oldukça basit olan bir diferansiyel denklemdir (ancak henüz diferansiyel denklemleri çözmeyi bilmiyorsanız da canınızı sıkmayın, denklem 5 ile 6'yı geçebilirsiniz).
Şimdi de her iki tarafın integralini alalım. Aşağıdaki integrallerin sınırları, radyoaktif çekirdek miktarı olan  N'in,  N_0 a düşmesini ve zaman aralığının  0'dan rasgele bir deger olan t'ye kadar çıkmasını ifade eder.

Bu integralleri alırsak, karşımıza aşağıdaki ifade çıkar.

Buradan da, radyoaktif bozunma yasasına yani aşağıdaki denkleme çıkarız.

Bu denklemdeki $N$, t=t anındaki bozunmamış  çekirdek sayısını, $N_0$ ise, t=0 anındaki yani ilk durumdaki radyoaktif çekirdek sayısını verir.

1 numaralı görsel bize 7 numaralı denklemin grafiğini gösterir.

Nükleer Aktivite

Birim zamandaki bozunum miktarı  nükleer aktivite olarak adlandırılır ve R ile gösterilir. Birim zamandaki bozunum miktarını, aşağıdaki gibi ifade edebiliriz.

Bu da bize,  radyoaktivite yasasını, yani aşağı denklemi verir:

Buradaki R ve R_0, sırasıyla, t=t ve t=0 zamanındaki aktiviteyi ifade eder.

Yarı Ömür

Yarı ömür; aktiviteyi ya da radyoaktif çekirdek sayısını yarıya düşürmek için gereken zaman olarak tanımlanabilir. Radyoaktif elementler, 1 μs ile 10^9 yıl arasında değişen bir yarı ömre sahip olabilirler. Verdiğimiz tanımdan yola çıkarak, yarı ömrü şu şekilde ifade edebiliriz:
Yarılanma süresi

olsun. Bu süre geçtiğinde, aktivite yani R yarıya düşeceğinden,

diyebiliriz. Öyleyse,

Bu da demek ki,

Yani,

İşte, yarı ömür için gereken zamanın, bozunum sabitiyle olan ilişkisini göstermiş olduk.

Örnek

Bir örnek, bu konsepti pekiştirmemize yardımcı olacaktır. Saniyede 3.7 x 10^4 adet α parçacığı yayan

elementinin bozunum sabitini bulalım.
Öncelikle, 1  μg'nin kaç tane atomdan oluştuğunu bulmamız gerekir. elementin atom ağırlığı

olduğundan; basit bir orantılıyla elimizdeki örneğin

atomdan oluştuğunu bulabiliriz.
8 numaralı denklemin sağ tarafı yani

ifadesi, denklem 7'den dolayı N'e eşit olacağından ufak bir düzenleme ile aşağıdaki ifadeye ulaşabiliriz.

R= Nλ

Öyleyse, 

olur. Bu da bize bozunum sabitinin yaklaşık olarak

olduğunu gösterir.
Yazımızda, Nükleer fiziğin en önemli konularından birisi olan yarı ömrünü inceledik. Bu sayede, elementin yarı ömrünün ne anlama geldiğini ve nükleer bozunumlardaki rasgeleliği daha iyi kavramış olduk.
Ege Can KARANFİL

---

Referanslar

1. Prof. Dr. Selahattin Özdemir, Health Physics ders notları
2. Lumen, "Half-Life and Activity"
   <https://courses.lumenlearning.com/physics/chapter/31-5-half-life-and-activity/>

Görsel Kaynakları

1. <https://serviparticules.ub.edu/en/activities/talks-in-educational-centres/nuclear-physics-what-it-and-what-ithttp://inn.spb.ru/radiation-symbol-wallpaper/img572961565A7>