9.2 C
İstanbul
27 Mart 2019
Fizik Popüler Bilim Yüksek Enerji Fiziği

Nükleer Fizik: Yarı Ömür ve Bozunum Sabiti

Önceki yazılarımızda, radyoaktif izotopların bozunum mekanizmalarını incelemiştik. Bu yazımızda ise, tamamen rasgele gerçekleşen bu sürecin ayrıntılarına ineceğiz.

Radyoaktif izotoplar, yüksek sayıda radyoaktif çekirdekten oluşurlar. Bu çekirdeklerin hepsi, aynı anda bozunmazlar. Yukarıda dediğimiz gibi, süreç tamamen rasgeledir.

Verilen bir çekirdeğin ne zaman bozunacağını öngöremeyiz. Lakin, verilen bir örneğin ne kadarının verilen zaman aralığında bozunacağını hesaplayabiliriz.

Bu hesaplamayı yaparken, radyoaktif materyaldeki tüm çekirdeklerin bozunma ihtimalinin aynı olduğunu kabul ederiz.

Basitçe diyebiliriz ki bozunum miktarı, geçen zamanla doğru orantılıdır. Ayrıca, yine bozunum miktarı, elimizdeki örneğin içinde bulunan radyoaktif çekirdek sayısıyla da doğru orantılıdır. Yani:

(1)   \begin{equation*} $\Delta N\propto \Delta t$ \end{equation*}

ve

(2)   \begin{equation*} $\Delta N\propto N$ \end{equation*}

Burada \Delta t geçen zaman, \Delta N bozunum miktarı, N ise elimizdeki radyoaktif çekirdek miktarıdır. Öyleyse:

(3)   \begin{equation*} $dN \propto Ndt$ \end{equation*}

Elimizdeki elementin radyoaktif çekirdek miktarı zamanla azalacağı için ve bu bozunum mekanizması her radyoaktif element için farklı süreler alacağı için,  aşağıdaki eşitliği yazabiliriz.

(4)   \begin{equation*} $dN = - \lambda N dt$ \end{equation*}

Burada \lambda bozunum sabiti anlamına gelmektedir ve farklı izotoplar için farklı bir değere sahiptir. Ayrıca, \lambda arttığında, çekirdeğin bozunum oranının arttığını ve çekirdeğin daha radyoaktif olduğunu söyleriz.

4 numaralı denklem, çözümü oldukça basit olan bir diferansiyel denklemdir (ancak henüz diferansiyel denklemleri çözmeyi bilmiyorsanız da canınızı sıkmayın, denklem 5 ile 6’yı geçebilirsiniz).

Şimdi de her iki tarafın integralini alalım. Aşağıdaki integrallerin sınırları, radyoaktif çekirdek miktarı olan  N‘in,  N_0 a düşmesini ve zaman aralığının  0’dan rasgele bir deger olan t’ye kadar çıkmasını ifade eder.

(5)   \begin{equation*} $\int_{N_0}^{N}\frac{dN}{N}=- \lambda \int_{0}^{t}dt$ \end{equation*}

Bu integralleri alırsak, karşımıza aşağıdaki ifade çıkar.

(6)   \begin{equation*} $lnN-lnN_0 = \lambda t$ \end{equation*}

Buradan da, radyoaktif bozunma yasasına yani aşağıdaki denkleme çıkarız.

(7)   \begin{equation*} $N=N_0e^{-\lambda t} \end{equation*}

Bu denklemdeki N, t=t anındaki bozunmamış  çekirdek sayısını, N_0 ise, t=0 anındaki yani ilk durumdaki radyoaktif çekirdek sayısını verir.

Görsel 1: İlk durumdaki radyoaktif çekirdek sayısı ile zaman arasındaki grafik

 

1 numaralı görsel bize 7 numaralı denklemin grafiğini gösterir.

Nükleer Aktivite

Birim zamandaki bozunum miktarı  nükleer aktivite olarak adlandırılır ve R ile gösterilir. Birim zamandaki bozunum miktarını, aşağıdaki gibi ifade edebiliriz.

(8)   \begin{equation*} $R=dN/dt}$ $ = \lambda N_0 e^{- \lambda t}$ \end{equation*}

Bu da bize,  radyoaktivite yasasını, yani aşağı denklemi verir:

(9)   \begin{equation*} $R=R_0e^{- \lambda t}$ \end{equation*}

Buradaki R ve R_0, sırasıyla, t=t ve t=0 zamanındaki aktiviteyi ifade eder.

Yarı Ömür

Yarı ömür; aktiviteyi ya da radyoaktif çekirdek sayısını yarıya düşürmek için gereken zaman olarak tanımlanabilir. Radyoaktif elementler, 1\mu s ile 10^9 yıl arasında değişen bir yarı ömre sahip olabilirler. Verdiğimiz tanımdan yola çıkarak, yarı ömrü şu şekilde ifade edebiliriz:

Yarılanma süresi t=\tau_{\frac{1}{2}} olsun. Bu süre geçtiğinde, aktivite yani R yarıya düşeceğinden, R=\frac{R_0}{2} diyebiliriz. Öyleyse,

(10)   \begin{equation*} $R_0/2=R_0e^{\lambda \tau_{\frac{1}{2}}}$ \end{equation*}

Bu da demek ki,

(11)   \begin{equation*} $e^{\lambda \tau_{\frac{1}{2}}}=2\Rightarrow \lambda \tau_{\frac{1}{2}}=ln(2) $ \end{equation*}

Yani,

(12)   \begin{equation*} $\tau_{\frac{1}{2}}= \frac{ln2}{\lambda}$ \end{equation*}

İşte, yarı ömür için gereken zamanın, bozunum sabitiyle olan ilişkisini göstermiş olduk.

Örnek

Bir örnek, bu konsepti pekiştirmemize yardımcı olacaktır. Saniyede 3.7\times 10^4 adet \alpha parçacığı yayan 1 \mu g  _{}^{226}\textrm{Ra} elementinin bozunum sabitini bulalım.

Öncelikle, 1 \mu g‘ın kaç tane atomdan oluştuğunu bulmamız gerekir. elementin atom ağırlığı 226\times 1.66\times 10^{-27} kg olduğundan; basit bir orantılıyla elimizdeki örneğin 2.67*10^{15} atomdan oluştuğunu bulabiliriz.

8 numaralı denklemin sağ tarafı yani \lambda N_0 e^{- \lambda t}‘daki N_0 e^{- \lambda t} ifadesi, denklem 7’den dolayı N‘e eşit olacağından ufak bir düzenleme ile aşağıdaki ifadeye ulaşabiliriz.

(13)   \begin{equation*} $R= N \lambda$ \end{equation*}

Öyleyse,  \lambda = \frac{R}{N} = \frac{3.7\times 10^4}{2.67*10^{15}} olur. Bu da bize bozunum sabitinin yaklaşık olarak 1.39\times 10^{-11} s^{-1} olduğunu gösterir.

Yazımızda, Nükleer fiziğin en önemli konularından birisi olan yarı ömrünü inceledik. Bu sayede, elementin yarı ömrünün ne anlama geldiğini ve nükleer bozunumlardaki rasgeleliği daha iyi kavramış olduk.

Ege Can KARANFİL


Referanslar

  1. Prof. Dr. Selahattin Özdemir, Health Physics ders notları
  2. Lumen, “Half-Life and Activity”
    <https://courses.lumenlearning.com/physics/chapter/31-5-half-life-and-activity/>

Görsel Kaynakları

  1. <https://serviparticules.ub.edu/en/activities/talks-in-educational-centres/nuclear-physics-what-it-and-what-ithttp://inn.spb.ru/radiation-symbol-wallpaper/img572961565A7>
Bize destek olarak daha çok içerik üretmemize katkıda bulunun!

Related posts

Plazma ile Tedavi

Nazlı Turan

Nötron Yıldızı Çarpışması Şimdiye Kadarki En Büyük Nötron Yıldızını Oluşturmuş Olabilir!

Emir Haliki

Sarmal Galaksiler Nasıl Döner?

Ögetay Kayalı

Yorum Bırakın