FizikKuantum Mekaniği

Kuantum Mekaniği: Küresel Koordinatlarda Schrödinger Denklemi

Eğer incelemek istediğimiz fiziksel sistemin potansiyeli küresel simetrik bir dağılıma sahipse, Schrödinger Denklemi‘ni küresel koordinatlarda çalışmak oldukça pratik olacaktır. (Bkz. Küresel koordinatlar) Çözümler sırasında bütün diferansiyel denklemlerin detaylarına girmeyeceğim, fakat bunların çözümlerinin getirdiği sonuçlar kesinlikle dikkat çekici olacaktır. Bu yüzden sonucun neden böyle çıktığını daha iyi anlamak adına bu tipteki diferansiyellerin çözümüne olabildiğince değinmeye çalıştım. Fakat elbette tümünü bir başlık altında çözmemiz mümkün değil, bu sebeple bir kısmını sizin ilginize bırakıyorum. Yazının sonunda kuantum sayıları olan l ve m nin küresel koordinatlarda schrödinger denklemi çözümü sırasında nasıl elde edildiğini göreceğiz.

Schrödinger Denklemi;

schrödinger denklemi Kuantum Mekaniği: Küresel Koordinatlarda Schrödinger Denklemi
Denklem 1

Klasik mekanikte kinetik enerji ile potansiyel enerjinin toplamını ifade eden Hamiltonyen operatörü olarak gösterdiğimiz H’ı aşağıdaki şekilde açabiliriz.

hamiltonyen Kuantum Mekaniği: Küresel Koordinatlarda Schrödinger Denklemi
Denklem 2

Burada momentum Kuantum Mekaniği: Küresel Koordinatlarda Schrödinger Denklemi olmak üzere, aşağıdaki şekilde ayrı ayrı yazılabilir.

momentum operatörleri Kuantum Mekaniği: Küresel Koordinatlarda Schrödinger Denklemi
Denklem 3

Eğer buradaki p ifadesinin karesini alacak olursak,

momentum kare Kuantum Mekaniği: Küresel Koordinatlarda Schrödinger Denklemi
Denklem 4

Şimdi elimizdekileri (1) no’lu Schrödinger denkleminde yerleştirmeye başlayabiliriz. Öncelikle (2) no’lu denklem ile verilen Hamiltonyen operatörünü (1) no’lu Schrödinger denkleminde yerine yazalım.

schrödinger denklemi 2 Kuantum Mekaniği: Küresel Koordinatlarda Schrödinger Denklemi
Denklem 5

Böylelikle potansiyel enerji (V) ve dalga fonksiyonu CodeCogsEqn10 Kuantum Mekaniği: Küresel Koordinatlarda Schrödinger Denklemi; konumun r ve zamanın t bir fonksiyonu olarak ifade edilir. Klasik mekanikten biliyoruz ki x(t) ifade edilebiliyorsa; konumun değişiminden hızı, hızın değişiminden ivmeyi, hız ile kütleden kinetik enerjiyi, yine hızı ve kütleyi kullanarak momentumu ifade edebiliriz. Bu yüzden amacımız dalga fonksiyonunu çözmek. Eğer potansiyel V zamandan bağımsızsa CodeCogsEqn10 Kuantum Mekaniği: Küresel Koordinatlarda Schrödinger Denklemiₙ zamandan bağımsız Schrödinger denklemini sağlayacak şekilde

psin Kuantum Mekaniği: Küresel Koordinatlarda Schrödinger Denklemi
Denklem 6

yazılır. Böylelikle

schrödinger 3 Kuantum Mekaniği: Küresel Koordinatlarda Schrödinger Denklemi
Denklem 7

sağlanır. Zamana bağımlı Schrödinger denkleminin çözümü ise c_n sabitler olmak üzere

schödinger 4 Kuantum Mekaniği: Küresel Koordinatlarda Schrödinger Denklemi
Denklem 8

şeklinde ifade edilir.

Potansiyel, yalnızca orijinden olan uzaklığın bir fonksiyonu olduğundan küresel koordinatları seçmek işleri kolaylaştıracaktır. Çünkü küresel simetrik bir yapıda merkezden orijine olan koordinatlardaki değişimi kartezyen koordinat sisteminde (x,y,z)’nin tümüyle, küresel koordinatlarda ise (r,Θ,Φ)’den yalnızca r’ye bağlı olarak ele almak mümkündür. Bunu yapmak için öncelikle 7 no’lu denklemde ∇² ifadesi yerine küresel koordinatlardaki Laplace operatörünü yazmalıyız. Küresel koordinatlarda Laplace operatörü

küresel laplace Kuantum Mekaniği: Küresel Koordinatlarda Schrödinger Denklemi
Denklem 9

olarak verildiğinden (9) no’lu denklemi (7) no’lu denklemde yerine yazarsak

schrödinger küresel Kuantum Mekaniği: Küresel Koordinatlarda Schrödinger Denklemi
Denklem 10

Denklem bir hayli karışık görünüyor. Fakat elimizde mantıksal olarak kategorilendirilebilecek gibi duran değişkenler var. Bu yüzden değişkenlere ayırma metodunu kullanarak CodeCogsEqn10 Kuantum Mekaniği: Küresel Koordinatlarda Schrödinger Denklemi(r,Θ,Φ)’yi dikine D ve açısal Y bileşenler cinsinden yazabiliriz.

DY Kuantum Mekaniği: Küresel Koordinatlarda Schrödinger Denklemi
Denklem 11

Şimdi (11) no’lu denklemi, (10) no’lu denklemde yerine yazabiliriz. Burada yaptığımız tek şey \psi fonksiyonunu iki ayrı parçaya ayırmak oldu. (10) no’lu denklemde ilgili türevlerin olduğu yere ilgili parçaların geldiğine dikkat edin. Örneğin ilk parçada dD(r)/dr geliyor, bu aslında d(D(r)Y(Θ,Φ))/dr’dir. Fakat Y(Θ,Φ) parçası r’ye bağlı olmadığından bu kısımdan bir etki gelmez. Uygun şekilde düzenleyip yazarsak

schrödinger 5 Kuantum Mekaniği: Küresel Koordinatlarda Schrödinger Denklemi
Denklem 12

Karmaşık görünen bu denklemi bir iki matematik hareketiyle ihtişamlı görüntüsüne kavuşturabiliriz. Öncelikle mr2 Kuantum Mekaniği: Küresel Koordinatlarda Schrödinger Denklemi ile çarparsak

schrödinger5 Kuantum Mekaniği: Küresel Koordinatlarda Schrödinger Denklemi
Denklem 13

Şimdi de son bir hamle olarak D(r)Y(Θ,Φ) ile bölelim

schrödinger 6 Kuantum Mekaniği: Küresel Koordinatlarda Schrödinger Denklemi
Denlem 14

Böylelikle denklemimiz tamamen değişkenlerine ayrılmış oldu. Denklemin bazı parçaları yalnızca r’ye bağlı iken, geri kalanlar da yalnızca Θve Φ’ye bağlı. Daha anlaşılır şekilde düzenlersek

Schrödinger 7 Kuantum Mekaniği: Küresel Koordinatlarda Schrödinger Denklemi
Denklem 15

Bu son durumda üst tarafın yalnızca r’nin, alt tarafın ise yalnızca Θve Φ‘nin bir fonksiyonu olduğuna dikkat edin. İki farklı parametreye ait parçaların toplamı sıfıra eşit olduğuna göre, bu parçalar birbirinin zıt işaretlisi olan iki sabite eşittir. Bu sabite x gibi herhangi bir sayı değeri atamak yerine l(l+1) diyeceğiz. Bunun sebebi çözümü getiren Legendre polinomlarıdır. Elbette biz sonucun ne olduğunu bildiğimiz için böyle bir yol izliyoruz, çözümü yeniden keşfetmediğimizi unutmayın. Direkt doğru yöntemi uygulayarak sonuca ulaşıyoruz. O yüzden kafanız “Nasıl da bunun geleceğini bildiler?” diyerek karışmasın. Bu şekilde yeniden düzenlersek

schrödingerl Kuantum Mekaniği: Küresel Koordinatlarda Schrödinger Denklemi
Denklem 16

Böylelikle denklemimizi istediğimiz şekilde düzenlemiş olduk. Bundan sonra yapmamız gereken bu iki ayrı parçayı matematiksel metotlar izleyerek çözmek. Öncelikle üstteki denklem parçacığı ile başlayalım. Bu kısım yalnızca r’ye bağlı olduğundan dikine (radyal) parçadır. Çözümü yapmak için öncelikle f(r)=rD(r) şeklinde bir fonksiyon tanımlamamız gerekiyor. Böylesi bir fonksiyonu, denklemdeki parçalarını elde ederek yerine koyduğumuzda istediğimiz tipte bir denkleme ulaşacağız.

Öncelikle (16) no’lu denklemde üstte yer alan dikine (radyal) ifadeyi, D(r) ile çarpıyoruz.

schrödinger radyal Kuantum Mekaniği: Küresel Koordinatlarda Schrödinger Denklemi
Denklem 17

Denklemin sağındaki sabit terim yerine D(r) ifadesini ekleyerek işleri biraz karmaşıklaştırmışız gibi görünebilir, fakat amacımız denklemin başındaki türev ifadesini yalın hale getirmekti. Şimdi tanımladığımız f(r) fonksiyonu üzerinden türev alıp, bu ifadede yerine yazabiliriz.

schrödinger çözüm Kuantum Mekaniği: Küresel Koordinatlarda Schrödinger Denklemi
Denklem 18

Bu durumda denklemde yer alan aşağıdaki ifade f(r) cinsinden

schrödinger radyal 2 Kuantum Mekaniği: Küresel Koordinatlarda Schrödinger Denklemi
Denklem 19

şekline gelir. Şimdi bunu (17) no’lu denklemde yerine yazarak

schrödinger çözüm 2 Kuantum Mekaniği: Küresel Koordinatlarda Schrödinger Denklemi
Denklem 20

Burada 1/r ifadesi biraz rahatsız edici duruyor. Bu yüzden denklemi r ile çarpıyoruz.

schrödinger çözüm 3 Kuantum Mekaniği: Küresel Koordinatlarda Schrödinger Denklemi
Denklem 21

Şimdi denklemimiz çok daha sade bir görüntüye kavuştu. Son bir hamleyle tek boyuttaki Schrödinger denklemine benzetmemiz mümkün görünüyor. Tek boyutta Schrödinger denklemi aşağıdaki şekilde veriliyordu.

schrödinger 8 Kuantum Mekaniği: Küresel Koordinatlarda Schrödinger Denklemi
Denklem 22

(21) no’lu denklemi hbarkare Kuantum Mekaniği: Küresel Koordinatlarda Schrödinger Denklemi ile çarparsak, denklemin ilk ifadesini benzetmiş oluruz.

schrödinger 9 Kuantum Mekaniği: Küresel Koordinatlarda Schrödinger Denklemi
Denklem 23

 

Şimdi yapmamız gereken denklemin sağ tarafındaki ifadeyi sola geçirip, E ifadesini de sağa geçirmek

schrödinger 10 Kuantum Mekaniği: Küresel Koordinatlarda Schrödinger Denklemi
Denklem 24

Böylelikle elde ettiğimiz denklem şekil olarak (22) no’lu tek boyuttaki Schrödinger denklemiyle aynıdır. (22) no’lu denklemle kıyasladığımız zaman büyük parantez içerisinde kalan ifadenin aslında tamamının potansiyel olduğunu görürüz. Burada potansiyel V’ye ek olarak küresel koordinat Kuantum Mekaniği: Küresel Koordinatlarda Schrödinger Denklemiverilen potansiyel terimine; klasik mekanikte, parçacığı merkezden dışarı doğru itme etkisi gösteren merkezkaç etkisi gibi bir etki gösterdiği için merkezkaç potansiyeli denir. Bu noktadan sonrası için V(r) potansiyelinin bilinmesi gerektiğinden burada bırakıyoruz.

Sırada (16) no’lu denklemimizde alt kısımda verilen Θve Φ‘ye bağlı açısal kısım var. Bu kısmın sonucunu matematiksel olarak daha etkileyici bulduğumdan sona bırakmak istedim. Kolayca görebilmek adına (16) no’lu denklemi tekrar yazalım.

schrödinger 11 Kuantum Mekaniği: Küresel Koordinatlarda Schrödinger Denklemi
Denklem 25

Artık alttaki denklem ile ilgileniyoruz. Bu denklemi Y(Θ,Φ)\sin²(Θ) ile çarparsak

schrödinger11 Kuantum Mekaniği: Küresel Koordinatlarda Schrödinger Denklemi
Denklem 26

Şimdi yine, daha önce yaptığımız gibi değişkenlere ayırma metodunu izleyeceğiz. Y(Θ,Φ) fonksiyonu Θ ve Φ‘nin fonksiyonları olarak ayrı ayrı yazılabilir.

Y Kuantum Mekaniği: Küresel Koordinatlarda Schrödinger Denklemi
Denlem 27

Burada kolayca anlaşılsın diye Θ (teta) için T harfini, Φ (fi) için de F harfini seçtim. Karmaşık sembollerle donatmak yerine, böyle okumanın daha kolay olacağını düşünüyorum. Elbette siz istediğiniz bir harfi veya sembolü atayabilirsiniz. (27) no’lu ifadeyi (26)’da yerine yazalım

schrödinger 12 Kuantum Mekaniği: Küresel Koordinatlarda Schrödinger Denklemi
Denklem 28

İçeride yer alan türevleri aşağıdaki şekilde çözebiliriz.

schrödinger tetaphi Kuantum Mekaniği: Küresel Koordinatlarda Schrödinger Denklemi
Denklem 29

Sağdaki ifade yalnızca Φ’ye bağlı bir fonksiyonun Θ’ya göre değişimi 0 olacağından gider. Böylece denklem parçası

schrödiner TF Kuantum Mekaniği: Küresel Koordinatlarda Schrödinger Denklemi
Denklem 30

halini alır. Bunu yerine koymadan önce ilgilenenmeniz gereken diğer denklem parçası var.

schrödinger thetaphi 2 Kuantum Mekaniği: Küresel Koordinatlarda Schrödinger Denklemi
Denklem 31

Eşitliğin solda kalan parçası yalnızca Θ’ya bağlı fonksiyonun Φ’ye göre değişimi 0 olduğundan gider.

Schrödinger 13 Kuantum Mekaniği: Küresel Koordinatlarda Schrödinger Denklemi
Denklem 32

Bir kez daha bu ifadenin Φ’ye göre değişimini alırsak

schrödinger TF Kuantum Mekaniği: Küresel Koordinatlarda Schrödinger Denklemi
Denklem 33

Yine aynı sebepten denklem parçası sadeleşerek aşağıdaki şekilde düzenlenebilir.

schrödinger tf 1 Kuantum Mekaniği: Küresel Koordinatlarda Schrödinger Denklemi
Denklem 34

(30) ve (34) no’lu denklemler (28) no’lu denklemde yerine yazılırsa

schrödinger 14 Kuantum Mekaniği: Küresel Koordinatlarda Schrödinger Denklemi
Denklem 35

Eşitliği T(Θ)F(Φ) ile bölüp, sağdaki ifadeyi de sola alırsak denklem

schrödinger 15 Kuantum Mekaniği: Küresel Koordinatlarda Schrödinger Denklemi
Denklem 36

şeklini alır. Böylelikle denklemin ilk terimi yalnızca Θ, ikinci terimi ise yalnızca Φ cinsinden yazılarak denklem değişkenlerine ayrıştırılmış oldu. Yine daha önceki sebeplerimizden ötürü bu sefer bir tarafı m²’ye diğer tarafı -m²’ye eşitleyeceğiz.

schrödinger 16 Kuantum Mekaniği: Küresel Koordinatlarda Schrödinger Denklemi
Denklem 37

Alttaki diferansiyel denklemin çözümü oldukça kolaydır.

schrödinger Kuantum Mekaniği: Küresel Koordinatlarda Schrödinger Denklemi
Denklem 38

Bu tipteki bir denklemde Fphi Kuantum Mekaniği: Küresel Koordinatlarda Schrödinger Denklemi şeklinde bir çözüm olduğunu varsayalım. Bu durumda denklem

schrödinger çözüm2 Kuantum Mekaniği: Küresel Koordinatlarda Schrödinger Denklemi
Denklem 40

Buradaki türev ifadesini aşağıdaki şekilde açıp yerine yazalım.

schrödinger 2 Kuantum Mekaniği: Küresel Koordinatlarda Schrödinger Denklemi
Denklem 41

Burada elamdaphi Kuantum Mekaniği: Küresel Koordinatlarda Schrödinger Denklemi olacaktır. Bu durumda parantez içerisindeki ifadenin sıfır olması gerekir. Bu eşitliğin çözümü

lambda Kuantum Mekaniği: Küresel Koordinatlarda Schrödinger Denklemi
Denklem 42

olarak karşımıza çıkar. Bu durumda yalnızca Φ’ye bağımlı fonksiyonumuz

F Kuantum Mekaniği: Küresel Koordinatlarda Schrödinger Denklemi
Denklem 43

şeklinde yazılabilir. Burada negatif olan çözümün nereye gittiğini sorabilirsiniz. Burayı pozitif alarak m’nin negatif değerleri için bu koşulu da sağladığımıza dikkat edin. Böylelikle m hem negatif hem pozitif olabilir. Aslında buradaki çözüm tam olarak küresel çözüm Kuantum Mekaniği: Küresel Koordinatlarda Schrödinger Denklemi şeklindedir. Buradaki c₁ herhangi bir katsayıdır, bunu fonksiyonumuza dahil ederek yazmadık.

Küresel koordinatlarda Φ’yi 2π kadar artırdığımızda aynı noktaya geri döndüğümüze göre

F çözüm Kuantum Mekaniği: Küresel Koordinatlarda Schrödinger Denklemi
Denklem 44

yazabiliriz. Bunu alıp (42) no’lu denklemde yerine yazarsak

Fçözüm Kuantum Mekaniği: Küresel Koordinatlarda Schrödinger Denklemi
Denklem 45

Ve şimşeklerin çaktığı an! Böylesi bir eşitliğin sağlanabilmesi için sınır değer Kuantum Mekaniği: Küresel Koordinatlarda Schrödinger Denklemi olmalıdır ve bu ancak m’nin aşağıdaki değerleri için mümkündür.

m Kuantum Mekaniği: Küresel Koordinatlarda Schrödinger Denklemi

Şimdi Θ denklemine dönebiliriz.

schrödinger 17 Kuantum Mekaniği: Küresel Koordinatlarda Schrödinger Denklemi

Bu tipteki diferansiyel denklemin çözümü diğeri kadar kolay değildir. Çözüm plm Kuantum Mekaniği: Küresel Koordinatlarda Schrödinger Denklemi birleşik (assosiye) Legendre fonksiyonu olmak üzere

TP Kuantum Mekaniği: Küresel Koordinatlarda Schrödinger Denklemi

olarak verilir. Birleşik Legendre fonksiyonu ise aşağıdaki şekilde tanımlanır.

legendre Kuantum Mekaniği: Küresel Koordinatlarda Schrödinger Denklemi

Burada verilen Pₗ(x) l-inci Legendre polinomudur. n-inci derecen bir Legendre polinomu Rodrigues formülü ile aşağıdaki şekilde tanımlanır.

rodrigez Kuantum Mekaniği: Küresel Koordinatlarda Schrödinger Denklemi

İlk birkaç Legendre polinomu aşağıdaki şekildedir.

rodrigez2 Kuantum Mekaniği: Küresel Koordinatlarda Schrödinger Denklemi

İlk birkaç legendre polinomunun grafik gösterimi
İlk birkaç legendre polinomunun grafik gösterimi

Legendre polinomlarını bildiğimize göre birleşik (assosiye) legendre fonksiyonlarını da bulabiliriz. Burada m=0 için p0l Kuantum Mekaniği: Küresel Koordinatlarda Schrödinger Denklemi olduğuna dikkat edin. Bu durumda ilk birkaç birleşik legendre fonksiyonu aşağıdaki şekilde verilebilir. (Fonksiyon ile polinom arasındaki farka dikkat edin!)

m=0 ve l=0,1,2,3 değerleri için
legendre 2 Kuantum Mekaniği: Küresel Koordinatlarda Schrödinger Denklemi

m=1 ve l=1,2,3 değerleri için
legendre 3 Kuantum Mekaniği: Küresel Koordinatlarda Schrödinger Denklemi

m=2 ve l=2,3,4 değerleri için
legendre 4 Kuantum Mekaniği: Küresel Koordinatlarda Schrödinger Denklemi

Burada dikkatinizi bir şeyin çekmiş olması gerekiyor. Daima |m|≤l koşulundaki sonuçlardan bahsettik. Bunun sebebi |m|>l durumunda (d/dx)’in mertebesinin, önüne geldiği l-inci Legendre polinomunu sıfır yapmasıdır. Böylesine bir durum için m’nin alabileceği (2l+1) tane değer vardır. Bu değerler

m=-l, -l+1,…,-1,0,1,…,l-1,l aralığındadır. (l=0,1,2,3,…) olmak üzere.

İlk birkaç birleşik (assosiye) legendre fonksiyonu
İlk birkaç birleşik (assosiye) legendre fonksiyonu

Şimdi normalizasyon işlemini uygulayabiliriz. Hacim elemanı üzerinden integral alacak olursak

Normalizasyon Kuantum Mekaniği: Küresel Koordinatlarda Schrödinger Denklemi

Bunları ayrı ayrı da normlayabileceğimiz açıktır.

normalizasyon 2 Kuantum Mekaniği: Küresel Koordinatlarda Schrödinger Denklemi

Normlanmış açısal dalga fonksiyonlarının matematiksel çok özel bir karşılığı vardır ve fizikte sıklıkla karşımıza çıkar. Bunlara küresel harmonikler diyoruz. Aşağıdaki şekilde tanımlanır.

Küresel harmonik Kuantum Mekaniği: Küresel Koordinatlarda Schrödinger Denklemi

Buradaki ε aşağıdaki aşağıdaki ilk birkaç küresel harmonikte de deneyimleyeceğiniz üzere m≥ 0 için küresel koordinat 2 Kuantum Mekaniği: Küresel Koordinatlarda Schrödinger Denklemi, m≤ 0 için ise ε=1 koşulunu sağlar.

İlk birkaç küresel harmonik

küresel harmonik 1 Kuantum Mekaniği: Küresel Koordinatlarda Schrödinger Denklemi

Bazı png Kuantum Mekaniği: Küresel Koordinatlarda Schrödinger Denklemi‘lerin grafik gösterimi

Spherical_Harmonic

İşte burada gördüğümüz l açısal momentum kuantum sayısını (ya da azimutal kuantum sayısını), m de manyetik kuantum sayısını ifade eder. Böylelikle lisede görüp de nereden geldiğine pek de anlam veremediğimiz bu iki kuantum sayısı bu şekilde elde edilir.

Ögetay Kayalı

Kaynaklar
1. Kuantum Mekaniğine Giriş – II Ders Notları – Cemal Parlak – Ege Üniversitesi 
2. Kuantum Mekaniğine Giriş – David J. Griffiths – Çeviri: Haluk Özbek, Sondan Durukanoğlu Feyiz
3. http://www.rpi.edu/dept/phys/Courses/phys410/lct4.pdf
4. http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/quantum/sch3d.html
5. http://mathworld.wolfram.com/LegendrePolynomial.html
6. http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/math/legend.html
7. http://mathworld.wolfram.com/AssociatedLegendrePolynomial.html
8. http://mathworld.wolfram.com/SphericalHarmonic.html

 

Ögetay Kayalı

Rasyonalist kurucu, editör ve kıdemli yazar. NASA'nın APOD platformunda görevli olmak üzere, Michigan Tech. Üniversitesinde araştırma görevlisi olarak Astrofizik üzerine doktora yapmaktadır. Ege Üni. Astronomi ve Uzay Bilimleri Bölümünden birincilikle mezun olduktan sonra bir yıl kozmoloji üzerine yüksek lisans, ardından bir yıl da İzmir Uluslararası Biyotıp ve Genom Merkezinde Moleküler Biyoloji ve Genetik üzerine yüksek lisans yapmıştır.

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

Başa dön tuşu