GeometriMatematik

Küresel Koordinatlar

Matematikte küresel koordinatlar; üç boyutlu uzaydaki bir noktayı orijine olan uzaklık r ile birbirine dik kutup açısı   azimut açısı ile tanımlayan koordinat sistemidir. Fizikte özellikle küresel yapılar üzerinde çalışıldığında, kartezyen koordinat sistemi olan (x,y,z) yerine, küresel koordinatları $(r,,)$ tercih etmek, çözümleri oldukça basite indirger.

Örneğin; bir parametrenin merkezden yüzeye olan değişimini (gradyenini), kartezyen koordinatlarda ifade etmek için değişen üç parametre (x,y,z) kullanmamız gerekirken, kutupsal koordinatlarda sadece r’nin değişimini incelemek yeterlidir. Böylelikle problem üç değişken yerine, tek değişkenle daha basit bir şekilde incelenebilir.

Spherical_Coordinates
Küresel koordinat sistemi. z ekseninden yapılan açı (kutup açısı ya da zenit açısı) φ, x ekseninden yapılan açı (azimut açısı) θ, orijinden noktaya uzaklık r ile gösterilir.

Bazı kaynaklarda ile yer değiştirilmiş olarak gösterilebilir. Biz burada kutup açısını (zenit açısını) ile, azimut açısını da ile göstereceğiz. Zenit açısı aralığında yer alır. Azimut açısı ise, arasındadır. Böylelikle birbirine dik iki eksende ifade edilen kutup açılarıyla bir kürenin tüm noktaları tanımlanmış olur. İsterseniz bunu şöyle düşünebilirsiniz: açısını 0’dan 360’a kadar döndürün. Böylelikle bir çember çizmiş olacaksınız. Şimdi açısını bir tık artırın ve açısını tekrar 0’dan 360 dereceye kadar döndürün. Yine bir çember çizdiniz, fakat çizdiğiniz bu çember bir önceki çizdiğinizin bir tık üzerinde! Bu şekilde ilerleyerek bir küre yapmanız mümkün. (Elbette r’yi sabit tuttuğunuzu varsayıyorum)

Burada zenit açısıyla ilgili bir şeye dikkatinizi çekmek istiyorum. Dünya üzerinde tanımladığımız enlemler de ile tanımlanır. Burada enlemi belirtir. Eğer =0 olduğu durumu inceleyecek olursanız, bunun görselde tam tepe noktasına denk geldiğini göreceksiniz. Burası Dünya üzerinde kuzey kutup noktasıdır ve enlemi =90’dır. Benzer şekilde enlemi $\delta=0$ olan ekvator için =90 derecedir.

Kartezyen Koordinat Dönüşümleri

Kartezyen koordinatlardan küresel koordinatlara geçiş için aşağıdaki eşitlikleri kullanırız. , , ya da başka bir notasyonla , olacak şekilde;

Küresel koordinat parametreleri kartezyen koordinatlar cinsinden

Kartezyen koordinat parametreleri küresel koordinatlar cinsinden

Metrikler

Birim çizgi elemanı

Birim yüzey elemanı

Birim hacim elemanı

Birim vektörler

Ögetay Kayalı

Kaynaklar ve İleri Okuma
1. http://mathworld.wolfram.com/SphericalCoordinates.html

Kapak Görseli
Heisenberg1234 – http://heisenberg1234.deviantart.com/art/Abstract-sphere-wallpaper-374498682

Ögetay Kayalı

Rasyonalist kurucu, editör ve kıdemli yazar. NASA'nın APOD platformunda görevli olmak üzere, Michigan Tech. Üniversitesinde araştırma görevlisi olarak Astrofizik üzerine doktora yapmaktadır. Ege Üni. Astronomi ve Uzay Bilimleri Bölümünden birincilikle mezun olduktan sonra bir yıl kozmoloji üzerine yüksek lisans, ardından bir yıl da İzmir Uluslararası Biyotıp ve Genom Merkezinde Moleküler Biyoloji ve Genetik üzerine yüksek lisans yapmıştır.

Bir cevap yazın

Başa dön tuşu
Bilim dünyasındaki önemli gelişmelerden haberdar olmak için haftalık/aylık bültenimize abone olun.
Devam ederek gizlilik politikasını kabul etmiş olursunuz.