GeometriMatematik

Küresel Koordinatlar

Matematikte küresel koordinatlar; üç boyutlu uzaydaki bir noktayı orijine olan uzaklık r ile birbirine dik kutup açısı theta Küresel Koordinatlar  azimut açısı phi Küresel Koordinatlar ile tanımlayan koordinat sistemidir. Fizikte özellikle küresel yapılar üzerinde çalışıldığında, kartezyen koordinat sistemi olan (x,y,z) yerine, küresel koordinatları $(r,theta Küresel Koordinatlar,phi Küresel Koordinatlar)$ tercih etmek, çözümleri oldukça basite indirger.

Örneğin; bir parametrenin merkezden yüzeye olan değişimini (gradyenini), kartezyen koordinatlarda ifade etmek için değişen üç parametre (x,y,z) kullanmamız gerekirken, kutupsal koordinatlarda sadece r’nin değişimini incelemek yeterlidir. Böylelikle problem üç değişken yerine, tek değişkenle daha basit bir şekilde incelenebilir.

Spherical_Coordinates
Küresel koordinat sistemi. z ekseninden yapılan açı (kutup açısı ya da zenit açısı) φ, x ekseninden yapılan açı (azimut açısı) θ, orijinden noktaya uzaklık r ile gösterilir.

Bazı kaynaklarda phi Küresel Koordinatlar ile theta Küresel Koordinatlar yer değiştirilmiş olarak gösterilebilir. Biz burada kutup açısını (zenit açısını)phi Küresel Koordinatlar ile, azimut açısını da theta Küresel Koordinatlar ile göstereceğiz. Zenit açısı phi aralık Küresel Koordinatlar aralığında yer alır. Azimut açısı ise, theta aralık Küresel Koordinatlar arasındadır. Böylelikle birbirine dik iki eksende ifade edilen kutup açılarıyla bir kürenin tüm noktaları tanımlanmış olur. İsterseniz bunu şöyle düşünebilirsiniz: theta Küresel Koordinatlar açısını 0’dan 360’a kadar döndürün. Böylelikle bir çember çizmiş olacaksınız. Şimdi phi Küresel Koordinatlar açısını bir tık artırın ve theta Küresel Koordinatlar açısını tekrar 0’dan 360 dereceye kadar döndürün. Yine bir çember çizdiniz, fakat çizdiğiniz bu çember bir önceki çizdiğinizin bir tık üzerinde! Bu şekilde ilerleyerek bir küre yapmanız mümkün. (Elbette r’yi sabit tuttuğunuzu varsayıyorum)

Burada zenit açısıyla ilgili bir şeye dikkatinizi çekmek istiyorum. Dünya üzerinde tanımladığımız enlemler de phi 90 Küresel Koordinatlar ile tanımlanır. Burada delta Küresel Koordinatlar enlemi belirtir. Eğer phi Küresel Koordinatlar=0 olduğu durumu inceleyecek olursanız, bunun görselde tam tepe noktasına denk geldiğini göreceksiniz. Burası Dünya üzerinde kuzey kutup noktasıdır ve enlemi delta Küresel Koordinatlar=90’dır. Benzer şekilde enlemi $\delta=0$ olan ekvator için phi Küresel Koordinatlar=90 derecedir.

Kartezyen Koordinat Dönüşümleri

Kartezyen koordinatlardan küresel koordinatlara geçiş için aşağıdaki eşitlikleri kullanırız. r tanımı Küresel Koordinatlar, theta tanımı Küresel Koordinatlar, phi tanımı Küresel Koordinatlar ya da başka bir notasyonla theta 2 Küresel Koordinatlar, phi 2 Küresel Koordinatlar olacak şekilde;

Küresel koordinat parametreleri kartezyen koordinatlar cinsinden

rthetapfi Küresel Koordinatlar

Kartezyen koordinat parametreleri küresel koordinatlar cinsinden

Küresel Koordinatlar

Metrikler

gifadeleri Küresel Koordinatlar

Birim çizgi elemanı

ds Küresel Koordinatlar

Birim yüzey elemanı

da Küresel Koordinatlar

Birim hacim elemanı

dv Küresel Koordinatlar

Birim vektörler

birimvektörler Küresel Koordinatlar

Ögetay Kayalı

Kaynaklar ve İleri Okuma
1. http://mathworld.wolfram.com/SphericalCoordinates.html

Kapak Görseli
Heisenberg1234 – http://heisenberg1234.deviantart.com/art/Abstract-sphere-wallpaper-374498682

Ögetay Kayalı

Rasyonalist kurucu, editör ve kıdemli yazar. NASA'nın APOD platformunda görevli olmak üzere, Michigan Tech. Üniversitesinde araştırma görevlisi olarak Astrofizik üzerine doktora yapmaktadır. Ege Üni. Astronomi ve Uzay Bilimleri Bölümünden birincilikle mezun olduktan sonra bir yıl kozmoloji üzerine yüksek lisans, ardından bir yıl da İzmir Uluslararası Biyotıp ve Genom Merkezinde Moleküler Biyoloji ve Genetik üzerine yüksek lisans yapmıştır.

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

Başa dön tuşu