MatematikGeometri

Küresel Koordinat Sistemi – Eşitlikler ve Dönüşümler

Küresel koordinat sistemi; üç boyutlu uzaydaki bir noktayı orijine olan uzaklık r ile birbirine dik kutup açısı θ ve azimut açısı φ ile tanımlayan koordinat sistemidir. Fizikte özellikle küresel yapılar üzerinde çalışıldığında, kartezyen koordinat sistemi olan (x,y,z) yerine, küresel koordinatlar olan (r, θ , φ) tercih etmek, çözümleri birçok durumda oldukça basite indirger.

Örneğin bir parametrenin merkezden yüzeye olan değişimini, kartezyen koordinatlarda ifade etmek için değişen üç parametre (x,y,z) kullanmamız gerekirken, kutupsal koordinatlarda sadece r’nin değişimini incelemek yeterlidir.

Mesela Güneş’in merkezinden yüzeyine olan yoğunluk gradyenti kutupsal koordinatlarla kolayca hesaplanabilir. Çünkü sadece merkezden yüzeye olan uzaklık olan r’nin bir fonksiyonudur, θ ve φ açılarına göre değişmez. Böylelikle problem üç değişken yerine, tek değişkenle daha basit bir şekilde incelenebilir.

Bu nedenle yeri geldiğinde kartezyen koordinatlardan, kutupsal koordinatlara dönüşüm yapmak gerekir. Keza bazı durumlarda tersi de geçerli olabilir. Hatta bir problemin içerisinde iki yönde de dönüşüm yapmayı gerektiren zamanlar olabilir.


Küresel Koordinat Sistemi

küresel koordinat sistemi
Küresel koordinat sistemi. z ekseninden yapılan açı (kutup açısı ya da zenit açısı) φ, x ekseninden yapılan açı (azimut açısı) θ, orijinden noktaya uzaklık r ile gösterilir.

Kullanılan kaynağa göre θ ile φ yer değiştirilmiş olarak gösterilebilir. Burada olası bir kafa karışıklığını önlemek için bu açıların neyi tanımladığını bilmekte fayda var. Biz burada kutup açısını (polar, zenit açısını) φ ile (z-ekseninden yapılan açı), azimut açısını da θ ile göstereceğiz (x-ekseninden yapılan açı).

Sıralama Notasyon Referans
(radyal, azimutal, polar) (r, θ, φ) Bu yazıda bu notasyon kullanılmaktadır.
(radyal, azimutal, polar) (ρ, θ, φ) Apostol (1969, p.95), Anton (1984, p. 859), Beyer (1987, p. 212)
(radyal, polar, azimutal) (r, θ, φ) ISO 31-11, Misner et al. (1973, p. 205)
(radyal, polar, azimutal) (r, θ, φ) Arfken (1985, p.102)
(radyal, polar, azimutal) (r, θ,  ψ) Moon and Spencer (1988, p. 24)
(radyal, polar, azimutal) (r, ν, φ) Korn and Korn (1968, p. 60), Bronshtein et al. (2004, pp. 209-210)
(radyal, polar, azimutal) (ρ, φ, θ) Zwillinger (1996, pp. 297-299)
Farklı kaynaklardaki farklı kutupsal koordinat notasyonları. Referans: Mathworld, Wolfram.

Zenit açısı 0° ≤ φ ≤ 180° aralığında yer alır. Azimut açısı ise 0° ≤ θ ≤ 360° arasındadır. Böylelikle birbirine dik iki eksende ifade edilen kutup açılarıyla bir kürenin tüm noktaları tanımlanmış olur. Bunu şöyle düşünebiliriz: θ açısını 0’dan 360’a kadar döndürelim. Bu durumda yukarıdaki görsele bakacak olursak xy-düzlemindeki çemberi çizmiş olduğumuzu görürüz. Şimdi bu çember φ açısı boyunca 180 derece çevirerek kapladığı hacmi hayal edelim. Bu bir tam küredir!

Burada zenit açısıyla ilgili bir konuya dikkat çekmekte yarar var. Dünya üzerinde tanımladığımız enlemler de φ=90-δ ile tanımlanır. Burada δ enlemi belirtir. Eğer φ=0 olduğu durumu inceleyecek olursak, bunun görselde tam tepe noktasına denk geldiğini görürüz. Burası Dünya üzerinde kuzey kutup noktasıdır ve enlemi δ=90’dır. Benzer şekilde enlemi δ=0 olan ekvator için φ=90 derecedir.

Küresel Koordinatlarda Dönüşümler

Kartezyen Koordinatlardan Küresel Koordinatlara Dönüşüm

Kartezyen koordinatlardan küresel koordinatlara dönüşüm için aşağıdaki eşitlikleri kullanırız. Burada r sıfırdan sonsuza, θ 0’dan 360’a (ya da 0’dan 2π’ye) φ ise 0’dan 180’e (ya da 0’dan π’ye) tanımlıdır.

Küresel koordinatlar, kartezyen koordinatlar cinsinden aşağıdaki gibi tanımlanır.

kartezyen koordinatlardan küresel koordinatlara dönüşüm

Küresel Koordinatlardan Kartezyen Koordinatlara Dönüşüm

Kartezyen koordinatlar, küresel koordinatlar cinsinden aşağıdaki gibi tanımlanır.

küresel koordinatlardan kartezyen koordinatlara dönüşüm

Dolayısıyla kartezyen koordinat sisteminden, küresel koordinat sistemine dönüşüm (ya da tam tersi) bu iki ifade kullanılarak kolaylıkla yapılabilir. Eğer elinizde kartezyen koordinatlar var ve kutupsal koordinatlardaki karşılığını istiyorsanız birinci dönüşüm setini, kutupsal var ama kartezyene dönüşüm istiyorsanız da ikinci dönüşüm setini kullanmanız gerekir.

Küresel Koordinat Sistemi Özellikleri

Küresel koordinat sisteminde çizgi elemanı (line element)

küresel koordinatlarda çizgi elemanı line element

Küresel koordinat sisteminde alan elemanı (area element)

küresel koordinatlarda alan elemanı

Küresel koordinat sisteminde hacim elemanı (volume element)

küresel koordinatlarda hacim elemanı

Küresel koordinat sisteminde yarıçap vektörü (radius vector)

küresel koordinatlarda yarıçap vektörü

Birim vektörler

küresel koordinatlarda birim vektör r
küresel koordinatlarda birim vektör theta
küresel koordinatlarda birim vektör phi

Birim vektörlerin türevleri

küresel koordinatlar küresel koordinat sistemi birim vektörlerin türevleri

Küresel Koordinatlarda Gradyent

küresel koordinatlarda gradyent

Sorularınız için: Rasyonalist forum.


Hazırlayan: Ögetay Kayalı

Referanslar

1. Mathworld Wolfram, “Spherical Coordinates”, <http://mathworld.wolfram.com/SphericalCoordinates.html>

Kapak Görseli: Heisenberg1234 – http://heisenberg1234.deviantart.com/art/Abstract-sphere-wallpaper-374498682

Ögetay Kayalı

Rasyonalist kurucu, editör ve kıdemli yazar. NASA'nın APOD platformunda görevli olmak üzere, Michigan Tech. Üniversitesinde araştırma görevlisi olarak Astrofizik üzerine doktora yapmaktadır. Ege Üni. Astronomi ve Uzay Bilimleri Bölümünden birincilikle mezun olduktan sonra bir yıl kozmoloji üzerine yüksek lisans, ardından bir yıl da İzmir Uluslararası Biyotıp ve Genom Merkezinde Moleküler Biyoloji ve Genetik üzerine yüksek lisans yapmıştır.

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

Başa dön tuşu