FizikKuantum Mekaniği

Kuantum Mekaniği: Basamak Potansiyeli 1

Kuantum mekaniği yazı dizimizde şimdiye kadar, zamandan bağımsız Schrödinger denleminin türetilmesi, Olasılık akımı kavramı ve normalizasyon hakkında konuştuk. Şimdi ise sıra, bu bilgiler ışığında çeşitli kuantum mekaniksel konseptleri kavramaya geldi. Bu amaca yönelik olarak ilk olarak işleyeceğimiz örnek ise basamak potansiyeli.

Basamak Potansiyeli

Basamak potansiyelini aşağıdaki gibi tanımlayabiliriz:

Tanımlanan bu potansiyel için, parçacığın sahip olduğu toplam enerjiye göre iki farklı durumdan söz edebiliriz. Bunlar şu şekildedir:

İncelemeye 1. Durum ile başlayalım.

E>V0

Basamak Potansiyeli

Zamandan bağımsız Schrödinger denklemini hatırlayalım.

Denklemi ilk önce x<0 için düzenleyelim, V=0 olduğundan, denklem;

halini alır. Bu, ifade ikinci derece, lineer bir diferansiyel denklemdir. Çözümü oldukça basit olan bu denklemi, basitleştirmek adına:

Denklemimizin çözüm adımlarını, odağımız dışında olduğu için incelemeyeceğiz. Lakin eğer diferansiyel denklemlerin çözümü ile ilgili kendinizi yeterli hissetmiyorsanız, “Shepley Ross, Differential Equations” başta olmak üzere, çeşitli referans kitaplara başvurabilirsiniz. Bu diferansiyel denklemin çözümünün bize verdiği dalga fonksiyonu:

halini alır. Bu ifadedeki A ve R, matematiksel olarak rastgele sabitlerdir. Fiziksel olarak ise, dalganın büyüklüğünü temsil ederler. “ikx” içeren üstel ifade, +x yönüne doğru ilerleyen dalgayı, “-ikx” içeren ifade ise -x yönüne doğru “yansıyan” ( rastgele katsayı olarak R’yi kullanmamızın nedeni, “yansıma” kelimesinin ingilizcesi olan “reflection”ı bize hatırlatmasıdır) dalgayı temsil eder. Kolaylık olması adına, A’yı 1 alabiliriz.

Olasılık akımı olarak ifade ettiğimiz denklemin türetilişini ve fiziksel anlamını, hakkında yazdığımız yazıda konuşmuştuk. Hatırlayacak olursak denklemimiz;

şeklindeydi. Yukarıda bulduğumuz dalga fonksiyonunu bu denklemin içine yazacak olursak:

Halini alır. Yani:

Bu demek olur ki, e^{ikx} ifadesi, akısına, e^{-ikx} ifadesi yani yansıma ise, |R|^2 akısına sahiptir.

Dalga denklemini ikinci bölge için yani x>0 için yazacak olursak, artık V0 potansiyeli de denklemin içerisine gireceğinden;

halini alır. Bu da yine aynı şekilde, ikinci dereceden ve lineer bir diferansiyel denklemdir. Yukarıda yaptığımıza benzer olarak, hayatımızı kolaylaştırmak adına:

diyelim. Diferansiyel denklemin çözümü olan dalga fonksiyonu:

şeklindedir. Yazdığımız bu ifade her ne kadar matematiksel olarak doğru olsa da, fiziksel olarak durum pek öyle değil. Yukarıda bahsettiğimiz gibi, e^(iqx)’li ifade, +x yönüne doğru giden dalgayı temsil etmekteydi. e^(-iqx) ise, tam ters yönde giden dalga anlamındaydı. Bu bölgede, -x yönünde giden bir dalga olmadığından, dalga fonksiyonumuz bu ifadeyi içeremez. öyleyse dalga fonksiyonumuz;

Yukarıda yaptığımıza benzer şekilde, 1.bölgeden 2.bölgeye (x<0’dan x>0’a) geçen dalga fonksiyonu için de akıyı tanımlayacak olursak:

şeklinde olur. Bu da, fiziksel olarak, 2.bölgeye iletilen ve Te^(iqx) dalga denklemine sahip olan parçacığı temsil eder. Bu parçacığın olasılık akımı ya da akısı ise, j’dir.

Basamak Potansiyel için, E>V0 durumunda dalga fonksiyonları

Oluşan bu dalga fonksiyonlarını, Euler formülüne göre düzenlersek, bir sinüs dalgası elde ederiz ve bu dalganın dalga sayısını inceleyebiliriz. Düzenlemenin detaylarına girmeden, yukarıda elde ettiğimiz dalga fonksiyonlarındaki k ve q değerinin, dalga sayısı anlamına geldiğini söyleyebiliriz. Öyleyse, dalga sayılarını yazacak olursak:

Dalga sayısı ile dalga boyu arasındaki ilişki, k=2π/λ olduğundan ve k>q olduğundan, λ1’in λ2’den daha küçük olduğunu söyleyebiliriz. Görselleştirmek gerekirse:

DeBroglie denklemine göre de λ = h/p olduğundan,

diyebiliriz. Bu da bize gösterir ki, parçacığın 1.bölgedeki hızı 2.bölgedekinden büyüktür. yani v2<v1’dir. Bu da demek olur ki, potansiyel sebebiyle parçacıklar yavaşlar. Aynı zamanda, potansiyel sebebiyle, gelen parçacıkların bir kısmı geri yansır.

Korunum yasası gereği; iki bölgedeki akının birbirine eşit olması yani;

gerekir. İncelememize devam edecek olursak, x=0 noktasında iki dalga denkleminin ve bu denklemlerin birinci dereceden türevinin birbirine eşit olması gerektiğinden, aşağıdaki ilişkileri yazabiliriz:

Bu iki denklemi T ve R için çözüp, olasılık akımı (akı) formüllerinin içerisine yazarsak da; akının potansiyel ve toplam enerji ile olan ilişkisini matematiksel olarak ifade etmiş oluruz.

|T|^2 ve |R|^2’nin davranışı

|T|^2 ve |R|^2’nin davranışını yukarıdaki grafikte inceleyecek olursak, bunun fiziksel olarak mantıklı olduğunu anlayabiliriz. Öyle ki, yansıma sıfıra gittiğinde, iletim miktarı da 1’e gitmekte. Son olarak, yansıyan parçacıkların akısını matematiksel olarak ifade edelim:

Yazımızı bitirmeden, tüm bu matematiksel işlemlerin sonuçlarını değerlendirmeye çalışalım.

Sonuç

Klasik fizik perspektifinden düşünürsek; parçacığın enerjisi, yaklaştığı potansiyelden daha büyükse, herhangi bir yansıma gerçekleşmez. Tecrübe edeceği tek şey, potansiyelin oluşturduğu tepki kuvvetidir (F=-dV/dx). Kuantum mekaniğinde ise durum daha karışıktır. Gelen parçacıkların bir kısmı, geri yansıyabilir. Bu, parçacıkların sahip olduğu dalga özelliğinden kaynaklanmaktadır.

Parçacığın enerjisinin, maruz kalınan potansiyelden çok çok büyük olduğu durumlarda ise, yansıma miktarının sıfıra gittiğini, yukarıdaki denklemden rahatlıkla görebiliriz.

Yazımızda, kuantum mekaniğinin ilginç konseptlerinden bazılarını bize gösteren basamak potansiyel problemini, E>V0 için inceledik. İlerleyen yazılarımızda, E<V0 durumunu ve kuantum tünellemeyi de incelemeye çalışacağız.

Ege Can KARANFİL

Referanslar
1. Stephen Gasiorowicz, Quantum Physics, 3rd Edition
2. Prof. Dr. Osman Yılmaz, Quantum Physics ders notları
3. David J. Griffiths, Introduction to Quantum Mechanics, 2nd edition
4. Prof. Dr. Gürsevil TURAN, Quantum Physics ders notları

Kapak Görseli
1. https://online.stanford.edu/courses/soe-yeeqmse01-quantum-mechanics-scientists-and-engineers

Ege Can Karanfil

Rasyonalist editör ve yazar. Orta Doğu Teknik Üniversitesi (ODTÜ) Fizik bölümü 4.sınıf öğrencisi. Nükleer fizik üzerine araştırmalar yapmaktadır.

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

Back to top button

 
Bilim dünyasındaki önemli gelişmelerden haberdar olmak için haftalık/aylık bültenimize abone olun.
Devam ederek gizlilik politikasını kabul etmiş olursunuz.