FizikKlasik Mekanik

Genel Fizik – 2: Konum, Hız ve İvme

Hikayenin Öne Çıkanları
  • Konum
  • Hareket ve Hız
  • İvme (Hızlanma & Yavaşlama)
  • Konum-Zaman Grafiği
  • Hız-Zaman Grafiği
  • İvme-Zaman Grafiği
  • Yer Değiştirme
  • Ortalama Hız
  • Ani Hız
  • Ortalama İvme
  • Ani İvme

Konum, bir cismin (ya da olayın) içerisinde bulunduğu uzayda, nerede yer aldığını ifade etmek için kullandığımız bir kavramdır. Hiç kuşkusuz bir cisim (ya da olay), bir başka şeyin sağında, az aşağısında veya kuzeyinde yer alıyor diyebiliriz. Fakat bu türden nitel bir ifade, fizikte pek işimize yaramaz. O nedenle konumu ifade ederken, koordinatları kullanırız.

Bazen bir olayı tek boyutta (bir doğru boyunca) ele alırken, bazen iki boyutta, bazen de üç boyutta ele alırız. Şüphesiz boyut arttıkça işin matematik yükü de artar. Bu nedenle işi basite indirgemek için ya bir boyutta hareketi ya da iki boyutta hareketi kullanırız. Daha sonra istersek bunu üç boyuta, hatta daha sonrasına genelleyebiliriz. Bir boyutta harekette konum için genellikle “x” harfi kullanılır (bir diğer sık kullanılan alternatif “r” harfidir). Örneğin x=50 metre diyerek, başlangıçtan (ya da orijinden) 50 metre ötede olduğunu ifade edebiliriz.

İki boyutta ise genellikle kartezyen koordinatlara geçilir (tek seçenek bu değildir). Böyle olunca işin içerisine bir de “y” harfi girer. Cismin konumu için x=20, y=15 gibi bir ifade kullanırız ya da (x,y) formunda ifade ederek basitçe cismin konumu için (20,15) deriz. Fakat kartezyen koordinatlar, çıkardığı matematiksel iş yükü sebebiyle genellikle fizikte pek sıklıkla tercih ettiğimiz bir koordinat sistemi değildir. Onun yerine kutupsal koordinatları daha çok tercih ederiz, bunda ise bir uzaklık (r) ve bir açı (θ) tercih edilir. Fakat konumuz şimdilik koordinat sistemleri değil.

kartezyen koordinat konum
Kartezyen koordinat sisteminde üç farklı nokta. Görsel: Wikipedia

Hareket, Hız ve Sürat

Fizikte konum, aslında tek başına çok bir anlam taşımaz. Genellikle “hareket” ile ilgileniriz, bu da aslında konumun değişimiyle mümkündür. Konumun değişebilmesi, bir hareketin gerçekleşebilmesi için muhakkak bir zaman geçmesi gerekir. Zamanın kendisi bunu mümkün kılar.

Dolayısıyla hız, konumun zamanla olan değişimidir ve sıklıkla V (İng. velocity) harfi ile gösterilir. Bunu daha matematiksel bir ifadeyle söyleyeceğimiz zaman hız için, konumun zamana göre türevidir deriz. Bu nedenle hızın var olabilmesi için, muhakkak konumun değişmesi gerekir. Konumun birim zamanda ne kadar fazla değiştiği ise, hızın ne kadar büyük olduğunu söyler. Hız sadece büyüklüğe değil bir yöne de sahip olduğundan, vektörel bir niceliktir.

Sürat kavramı ise aslında hız ile oldukça benzerdir. Hız vektörel bir nicelikken, sürat skaler bir niceliktir. Yani sürat aslında hızın sadece büyüklüğünü söyler, yönünü ise içermez. Cümle içerisinde “Araç saatte 50 kilometre hızla ilerliyor.” derken yön tarif etmediğimizden, aslında süratten konuşuyor oluruz.

İngilizce’de sürat için speed, hız için velocity kullanılır.

İvme (Hızlanma ya da Yavaşlama)

Bu noktada birisinin aklına şöyle bir soru gelebilir: İyi ama, cisim o hıza bir anda ulaşmadı ya, önce hızlanması gerekmiyor mu? Bu soru bazen kafa karıştırıcı problemlere takılmamıza neden olsa da oldukça yerinde bir sorudur ve oldukça da geçerli bir cevabı vardır. Bir araç için hız da aslında sıfırdan, zamanla artarak bir değere ulaşır. Örneğin durmakta olan bir araç gaza bastığında, saatte 70 kilometre hıza çıkıp o sabit hızla devam edene kadar, belirli bir zaman geçer. Öyleyse hızın zamana göre değişimi (türevi) de bir anlam ifade etmektedir! Buna fizikte ivme deriz.

İvme, hızın zamana göre değişimidir ve sıklıkla a (İng. acceleration) harfi ile gösterilir. Tıpkı hızın, konumun zamana göre değişimi olması gibi. Dolayısıyla aslında ivme için, konumun zamana göre iki kere değişimidir gibi bir yaklaşım sergileyebiliriz. Bunu daha matematik bir dille; ivme, konumun zamana göre ikinci türevidir şeklinde söyleriz.

İvme, hız gibi vektörel bir niceliktir. Pozitif veya negatif bir değere sahip olabilir. Pozitif olması durumunda hız artar, yani cisim hızlanır. Negatif olması durumunda ise hız azalır, yani yavaşlar. Bu yorum aslında pozitif hızlar için geçerlidir. Elbette burada hızın da negatif değerler alabildiğine dikkat etmek gerekir. Eğer ivme negatifse ve cisim sıfır hızla başlıyorsa, hız aslında büyüklük olarak azalmaz, artar. Evet, negatif sayı olarak bakıldığında değeri azalıyor gibi görünebilir, fakat işaret, sadece bir yön ifade etmektedir. Buna dikkat etmek gerekir.

Peki bu değişim olayı nereye kadar böyle gider? İvmenin de zamanla değişimi yok mudur? İvme bir anda mı oluşur? Elbette bunu epey bir sürdürebiliyoruz. İvmenin zamana göre değişimi için jerk kavramı kullanılır. Jerk kavramının zamanla değişimi için snap, onun da zamana göre değişimi için crackle, onun da zamana göre değişimi için pop… Bu kelimeleri Türkçe karşılıkları olarak bile yazmıyoruz, çünkü karşımıza o kadar ender çıkıyorlar ki çoğunlukla ivmeden ötesiyle pek ilgilenmemiz gerekmiyor. Fakat bağlam açısından, bu kavramları sorgulamanızda yarar var.

Grafik İncelemeleri

Konum Zaman Grafiği

Fizikte, gerçekleşen olayları yorumlamak adına grafikleri sıklıkla kullanırız. Bu konunun özelinde ilgimizi çeken ilk grafik bu nedenle konum zaman grafiği oluyor. Temelde aşağıdaki görseldeki gibi 5 farklı senaryo ele alabiliriz.

konum zaman grafiği
Konum zaman grafikleri
A Durumu

A durumunda zaman geçse dahi, konumun değeri hiç değişmemiştir. Yani cisim, hiçbir hareket sergilememiştir. Bu nedenle cismin bir yer değiştirmesi, dolayısıyla bir hızı yoktur.

B Durumu

Burada zamanla konumun doğrusal (lineer) bir şekilde arttığını görüyoruz. Artış zamana göre sürekli olarak sabit gitmiş, bunu söyleyebilmemize neden olan şey, grafiğin bir doğruyla temsil edilmesidir. Aynı zamanda başlangıçta sıfır konumundayken, zaman geçtikçe konumu artmıştır. Dolayısıyla bu grafik, sabit ve pozitif hızla gerçekleşen bir hareketi ifade eder.

C Durumu

Bu durum aslında B durumunun sadece biraz farklı halidir. Bu sefer zamanın başında mevcut bir konum varken, sıfır konumuna doğru sabit hızlı bir hareket gerçekleşmektedir. Öyleyse sabit ve negatif hızlı bir hareket söz konusudur.

D Durumu

Bu grafik ilk başta biraz kafa karıştırıcı görünebilir, çünkü B ve C durumundaki gibi sabit bir artış söz konusu değildir. İşi kolaylaştırmak adına zaman eksenini ortadan ikiye bölmeyi deneyebilirsiniz. Bu durumda görülür ki ilk yarıda cisim, en son konumuna oldukça yakındır. Sonrasında ilkine göre o kadar da yer değiştirmemiştir. Yani başlangıçta çok büyük bir hızı varken, daha sonrasında bu hız azalmıştır. Yani başlangıçta hızlı olan ama negatif ivmeli (yavaşlayan) bir hareket yapmıştır.

E Durumu

Bu durum basitçe D durumunun tersidir. Benzeri bir çıkarımla görülebilir ki başlarda hız oldukça yavaş olduğundan, konum değişimi birim zamanda oldukça azdır. Fakat zamanla hız arttığı için, yani pozitif ivmeye sahip olduğundan (hızlandığından) son zaman dilimlerinde konum daha hızlı değişmiştir.

Hız Zaman Grafiği

Bu grafiği yorumlamak, en azından belirli sınırlar içerisinde konum grafiğine göre daha kolaydır. Genellikle sadece sabit ivmelerle ilgilendiğimiz için, bu grafikler daima doğrusaldır (lineerdir). Dolayısıyla bir önceki grafikteki gibi A, B ve C durumlarını inceleriz.

hız zaman grafiği
Hız zaman grafiği.

Burada turuncu doğru zamanla hızın arttığını, dolayısıyla pozitif bir ivmeye sahip olunduğunu gösterir. Yeşil doğru boyunca ise hız hiç değişmemiştir, bu nedenle ivme yoktur, yani sıfırdır. Mavi doğru boyunca ise hız zamanla azalmıştır, yani negatif bir ivme söz konusudur. Bu grafikte yer almayan fakat göze çarpabilecek bir diğer senaryo ise, hızın negatif olduğu durumlardır. Kısaca özetlemek gerekirse, doğruların grafiğin x-ekseni (zaman ekseni) altında kaldığı durumlardır. Dikkat edecek olursanız, burada yorumlamanın değişmeyeceğini fark edebilirsiniz, mühim olan doğrunun eğimidir (yukarı mı tırmanıyor yoksa aşağı mı iniyor).

Hız zaman grafiğinin sağladığı bir diğer önemli bilgi ise, doğrunun altında kalan alanın yer değiştirmeyi verdiğidir. Konum, hız ile zamanın çarpımı olduğundan, doğrunun altında kalan alan konum değişimini verir. Eğer doğru, zaman ekseninin üstündeyse ivme pozitif de olsa negatif de olsa yer değiştirme pozitif olacaktır. İvmenin negatif olduğu durumda yer değiştirmenin nasıl pozitif olacağı başta karmaşık görünebilir. Fakat örneklendirirsek bunun nedenini anlayabiliriz: 70 km/sa hızla giden bir araç, hızını 20 km/sa değerine düşürse dahi, hala ileri kabul ettiğimiz yönde yer değiştirmiştir. Fakat doğru zaman ekseninin altında kalırsa, artık hız negatif, zaman pozitif olacağından çarpımın değeri negatiftir. Dolayısıyla yer değiştirme de negatif olur.

İvme Zaman Grafiği

Sabit ivmeli hareketlerin genel ilgi odağımız olması sebebiyle, bu grafiği de sabit ivme durumları için ele alacağız. Böyle bir durum için, üç tane olası grafik çizebiliriz ve bunlar daima doğrusaldır, hatta dikey eksendeki değer (ivme) hiç değişmez, çünkü sabittir. Bu nedenle bu üç durum şunlardır: Pozitif ivme, sıfır ivme ve negatif ivme.

İvme Zaman Grafiği
İvme zaman grafiği. Görsel: toppr.com

A durumunda dikey eksende (ivmede) pozitif bir değer bulunduğundan, hızın değer kazanacağı anlaşılır. B durumunda ise ivme sabittir, yani hızda herhangi bir değişim olmaz. C durumu ise basitçe A durumunun tersidir.

Not: Bütün bu anlatımların, sabit ivmeli bir hareketi ifade etmek için kullanıldığına dikkat edin. İvmenin sabit olması bir şart değildir. Fakat genelde değişen ivmeli durumlar pek karşımıza çıkmaz ve bunu ihmal etmek çoğunlukla şu raddede yeterlidir.

Denklemler

Denklemlere tekrar dalmadan önce, harflendirmelerimizi hatırlayalım. Genellikle bu konu başlığı altında konum için X, hız için V, ivme için a harfini kullanırız.

İlk bilinmesi gereken, en basit denklem konum, hız ve zaman arasındaki doğrusal ilişkidir. Buradaki doğrusal ilişki ifadesi V veya t artarken, X’in de aynı oranda artacağını ima eder. Bunu aşağıdaki denklemde bazı keyfi sayılar koyarak görebilirsiniz.

X eşittir V çarpı t

Yer değiştirme

Bir parçacığın konumundaki değişim, onun yer değiştirmesi olarak tanımlandığından, yer değiştirmeyi aşağıdaki gibi ifade ederiz.

Buradaki delta (Δ), değişimi ifade etmek için sıklıkla kullandığımız bir harftir. İndis olan s ve i ise, son ve ilk konumu ifade eder. Bir diğer yabancı olabileceğiniz ifade ise ≡ işaretidir, bu da matematiksel olarak bu şekilde tanımlandığını ifade etmek için kullandığımız bir işarettir. Fiziğin temellerine giriş yaptığımız bu konularda, bu tür notasyonları tanımanızda fayda görüyoruz.

Ortalama Hız

Ortalama hız, bir cismin belirli bir süre boyunca aldığı yolu, eğer sabit bir hızla alsaydı hızı ne olurdu sorusunun cevabıdır. Cismin hızı bu zaman içerisinde artmış veya azalmış olabilir. Bu nedenle ortalama hız, yer değiştirmenin bu sırada geçen süreyi oranıdır.

ortalama hızBurada V (hız) üzerindeki çizgi, o ifadenin ortalamasını ifade etmek için kullandığımız bir işarettir.

Ani Hız

Bir cismin ortalama hızını hesaplamak kolay olsa da merak ettiğimiz şey her zaman ortalama hız değildir, belirli bir andaki hızını da bilmek isteriz. Bu nedenle ani hız aşağıdaki gibi tanımlanır.

ani hızBurada V’nin altındaki x indisi, hareketin x-ekseni yönündeki hız bileşenini ifade eder, hiç kuşkusuz tek boyutta hareket söz konusuysa bunu yazmanız gerekmeyebilir, çünkü neyi ima edeceğiniz açıktır. Fakat biraz daha teknik gösterim için ve daha açık olmayı sevdiğimizden genellikle bu şekilde göstermeyi tercih ederiz. Kısaca bu denklemin anlattığı, delta X bölü delta t oranının, delta t limiti sıfıra giderken aldığı değerin ani hız olduğudur. Ani hız pozitif, negatif ya da sıfır olabilir. Bir başka ifadeyle:

ani hız genel formülolarak da yazılabilir. Bu limite X’in t’ye göre türevi denir.

Ortalama İvme

Ortalama ivme için de prensip yine aynıdır. Belirli bir zaman içerisinde ivmede olan değişim ile bu zamanın oranıdır. Daha matematiksel bir dille aşağıdaki gibi ifade edebiliriz.

ortalama ivmeArtık denklemlerdeki notasyona tanıdık gelmeye başlamış olmalısınız (zaten amacımız da bir yandan buna aşina hale gelmenizi sağlamaktı). Burada V’lerin altındaki xs ve xi ifadelerinin x-eksenindeki hız bileşenlerinin son ve ilk halleri olduğunu tahmin edebilirsiniz. Aynı şekilde t ifadesindeki s ve i indisi de son ve ilk değerleri ifade etmektedir.

Ani İvme

Ani hız kavramından sonra, ani ivmenin ne olacağını tahmin edebildiniz mi? Kavramlar aynı temel üzerine kurulu olduğundan dolayı, ani ivme aslında hızın zamana göre türevidir.

ani ivme

Burada matematiksel olarak bir tık ileriye gidebileceğimizi fark ettiniz mi? Daha önce hız ifadesi için konumun zamana görevi türevi olduğunu söylemiştik. Burada da hızın türevi var, öyleyse daha önce de bahsettiğimiz üzere ivme için, konumun zamana göre ikinci türevi diyebiliriz. Bunu da aşağıdaki şekilde yazarız.

ivme formülü konum zaman ikinci türev

Önemli Not: Biz genellikle ani hız ya da ani ivmeden bahsederken, onlara kısaca hız ya da ivme deriz. Fakat ortalamayı ifade ederken, ortalama kelimesini açıkça vurgularız. O nedenle bu farklılığa dikkat edin.


Hazırlayan: Ögetay Kayalı

Referanslar

1. Serway & Beichner, Fen ve Mühendislik İçin Fizik – 1, Beşinci Baskıdan Çeviri, p. 24-30
2. Displacement, Velocity, Acceleration, NASA, <https://www.grc.nasa.gov/WWW/K-12/airplane/disvelac.html>

Ögetay Kayalı

Rasyonalist kurucu, editör ve kıdemli yazar. NASA'nın APOD platformunda görevli olmak üzere, Michigan Tech. Üniversitesinde araştırma görevlisi olarak Astrofizik üzerine doktora yapmaktadır. Ege Üni. Astronomi ve Uzay Bilimleri Bölümünden birincilikle mezun olduktan sonra bir yıl kozmoloji üzerine yüksek lisans, ardından bir yıl da İzmir Uluslararası Biyotıp ve Genom Merkezinde Moleküler Biyoloji ve Genetik üzerine yüksek lisans yapmıştır.
Başa dön tuşu
Bilim dünyasındaki önemli gelişmelerden haberdar olmak için haftalık/aylık bültenimize abone olun.
Devam ederek gizlilik politikasını kabul etmiş olursunuz.