Bir düzlem üzerindeki iki nokta arasındaki en kısa yol, bir doğru ile temsil edilir. Bir küre üzerindeki iki nokta arasındaki en kısa yol ise, merkezi kürenin merkezi olan ve bu iki noktadan geçen yay parçası ile ifade edilir. Bir yüzey üzerinde yer alan iki nokta arasındaki en kısa mesafeyi belirten bu eğriye, jeodezik eğri diyoruz.
Kütleler, uzay-zamanı kütleleri ile orantılı olarak bükerler. Bu eğri üzerinde bulunan herhangi bir gök cisminin rotası, yani evren çizgisi, bir jeodezik eğridir. Özetle, kütle çekimsel alanda hareket eden bir cisim, jeodezik olan bir evren çizgisini takip eder.
Bu durum gündelik yaşantımızda uçaklarda karşımıza çıkar. Haritalar, üç boyutlu olan Dünya’nın, iki boyuta indirilmiş hali olduğundan, topolojik olarak bir aldatma yaşatır. Harita üzerinde uçak rotalarını incelediğimizde, uçakların dümdüz gitmek yerine, bir eğri izlediğini görürüz. Aslında bu durum, haritanın iki boyuta indirgenmesinden kaynaklanır. Rotayı Dünya üzerinde düşündüğümüzde, aslında bu eğri, iki nokta arasındaki en kısa mesafe olan jeodezik bir eğridir.
Eğer bu haritayı bir küre üzerine yerleştirecek olursanız, bu eğriye dik ve bakış doğrultusu Dünya’nın merkezini hedef alan bir açıda baktığınızda, jeodezik eğriyi, bir doğru şeklinde görürsünüz. Çünkü bükülmenin olduğu yön, bakış doğrultunuzla aynı yöndedir. Bu sebeple, eğriliği fark edemezsiniz. Fakat bakış açınız biraz değiştiğinde, eğrilik fark edilir olur.
Merkezi kürenin merkezi olup, bu iki noktadan geçen çembere, büyük çember diyoruz. Uçak rotalarına dikkatle bakacak olursanız, aynı boylam üzerinde bulunan rotalarda bir eğrilik yoktur. Çünkü küre, iki boyuta indirgenirken boylamlar bu durumdan etkilenmez. Benzeri şekilde, Ekvator çizgisi de bir büyük çember olduğundan, rota yine kendisidir.
Diferansiyel Geometride Jeodezik Eğri
Jeodezik eğri kavramı, diferansiyel geometride karşımıza çıkar. Bir eğri, üç boyutlu uzay için, burulma ve bükülme ile ifade edilir. Bir düzlem üzerindeki eğriliği bükülme, bu düzleme dik olan diğer düzlemdeki eğriliği ise burulmadır. Doğru üzerinde yaptığımız bu bükme ve burma işlemi sonucu elde ettiğimiz eğri, değişimi ifade eden diferansiyeller ile kolayca ifade edilebilir.
Bir yüzey üzerindeki birim hız eğrisi için, ivmenin yüzey-tanjant bileşeninin uzunluğu, 
, jeodezik eğridir. 
olan eğriler, jeodezikler olarak adlandırılır. Parametre gösterimi 
olan bir eğri için, jeodezik eğri aşağıdaki şekilde ifade edilir.
(1) ![\begin{equation*} \text{K}_\text{g}= \sqrt{2}{\text{EG-F}^2}\\ \Big[-\Gamma^2_{11} u^{'3}+ \Gamma^1_{22} v^{'3}-(2 \Gamma^2_{12}-\Gamma^1_{11})u^{'2}v^{'}\\ +(2\Gamma^1_{12}-\Gamma^2_{22})u^{'}v^{'2}+u^{''}v^{'}-v^{''}u^{'}\Big]\\ *(\text{E}u^{'2}+2\text{F}u^{'}v^{'}+\text{G}v^{'2})^{-3/2} \end{equation*}](https://rasyonalist.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-3cf605ee0950e2bb56f61a55e9ddfe66_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Ögetay Kayalı
Kaynaklar
1. http://mathworld.wolfram.com/GeodesicCurvature.html
2. Salim Yüce, Diferansiyel Geometri, 4.4 Hiperyüzeyler Üzerinde Geodezik Eğriler, Syf. 189-192
3 yorumlar
[…] Bu denklemin bize anlattığı şey, aynı kütle çekimsel alanda bulunan cisimlerin hepsinin aynı hızda ivmeleneceğidir. Genel görelilik açısından bu durumu yorumlayacak olursak, kütle çekimsel alanda ivmelenen bir cismin eğri uzay-zamanda jeodezik olan bir evren çizgisine sahip olduğunu anlarız. (Jeodezik bir eğri demek, bir yüzey üzerindeki iki nokta arasındaki en kısa yolu ifade eden eğri demektir. Örneğin bir düzlemde iki nokta arasındaki en kısa mesafe bir doğru ile ifade edilir. Bir küre üzerinde iki nokta arasındaki mesafe ise, merkezi kürenin orijini olan ve bu iki noktadan geçen büyük çember yayıdır.) (Bkz. Jeodezik Eğri) […]
[…] devamını rasyonalist.org sitesindeki bu linkten […]
[…] Düz bir geometride, yani yapılan ölçümlerimize göre evrenin şu anki geometrisinde ise, birbirine paralel harekete başlayan ışın demetleri sonsuza kadar birbirlerine paralel giderler. Çok daha yalın bir ifadeyle, dümdüz gitmeye çalıştığınızda, gerçekten dümdüz gidersiniz. Evren sizi bir yönde sapmaya zorlamaz. Çünkü hareketiniz, evrenin geometrisini takip etmek zorundadır. […]