FizikMatematik

Dirac Delta Fonksiyonu

Bu yazımızda, fizikte birçok alanda karşımıza çıkan oldukça önemli konulardan bir tanesini inceleyeceğiz: Dirac delta fonksiyonu.

Konuya başlamadan önce fiziksel bir örnek yardımıyla, neden bu fonksiyona ihtiyacımız olduğunu incelemek faydalı olacaktır. Öncelikle, diverjans teoremini bir hatırlayalım ve ardından örneğimize geçelim.

gauss teoremi

Neden Dirac Delta Fonksiyonuna İhtiyaç Duyuyoruz?

Bu durumu öncelikle konsept olarak anlamak adına, basit bir örnekle incelemeye başlayalım. Örneğin, x=0’da noktasal “q” yükümüz bulunsun. Bu yük için yük yoğunluğunu (ρ(𝑥))’i nasıl tanımlarız? Bütün yükün x=0 noktasında bulunduğunu biliyoruz. Ancak bunu matematiksel olarak nasıl gösterebiliriz? İşte Dirac delta fonksiyonu bize tam olarak bu noktada yardım edecek.

Şimdi, bu örneği matematiksel olarak ifade etmek için, bir vektör fonksiyonu (V) tanımlayalım.

vektör fonksiyonu

Aslında, bu ifade bir noktasal yükün elektrik alanıyla oldukça benzerdir. Eğer ki hayal edecek olursanız, bu vektör fonksiyonunun, merkezden dışarı doğru küresel olarak “saçıldığını” anlayabilirsiniz. Matematik dilinde “saçılmak” demek diverjans demek. Öyleyse, küresel koordinatlarda bu ifadenin diverjansını alalım ve ne buluyoruz bakalım.

Küresel koordinatlarda diverjans ifadesini şu şekilde yazabiliriz:

küresel koordinat diverjans

Şimdi, vektör fonksiyonumuzu yerine yazalım.

küresel koordinat diverjans 2

Sıfır! “Dışarı doğru saçılan bir fonksiyonun diverjansı nasıl sıfır olabilir ki?” diye sorabilirsiniz. Bu soruya cevap vermeden önce başka bir şey daha deneyelim. Sonuçta diverjans teoremimizin doğru olduğunu biliyoruz. Öyleyse, bir de o teoremi kullanalım ve bakalım diğer taraf da bize sıfır mı veriyor.

Diverjans ya da Gauss teoremine göre, önce bir kapalı yüzey tanımlamamız gerekiyor. Bu yüzeyi, yarıçapı R olan ve merkezi (0,0,0) noktasında olan bir küre olarak tanımlayalım. Öyleyse:

gauss teoremi rkare

Şimdi de 4π çıktı! Hani Gauss (diverjans) teoremi doğruydu? Biz mi bir yerlerde hata yapıyoruz? Yoksa Gauss teoremi mi yanlış? Nedir bu olan?

Olan şey aslında çok basit. vektör fonksiyonumuz, r=0 olduğunda sonsuza gidiyor. Bütün karışıklığın sebebi de bu nokta. Eğer ki, diverjansımızı r=0 noktası dışında bir noktada hesaplasaydık, bulacağımız cevap kesinlikle 0 olmalıydı. Çünkü oluşturacağımız hacimin içerisinde bir kaynak olmayacaktı. Hesaplayacağımız yüzey integraline bakacak olursak da, oluşturduğumuz kürenin yarıcapı R ne olursa olsun, çıkan sonucun 4π olacağını görebiliriz. Öyleyse, bu iki sonucu birleştirecek olursak:

V, r=0 noktası hariç her yerde sıfır olmakta. Yüzey integralinden de görebileceğimiz gibi, sonucu r=0’dan gelen katkıyla 4π olmakta.

Böyle davranışa sahip bir fonksiyonu nasıl ifade edebiliriz diye soracak olursanız, işte bu noktada Dirac delta fonksiyonu bize yardım edecek.

Dirac Delta Fonksiyonu

𝛿(x) ile ifade edilen Dirac delta fonksiyonu, aşağıdaki gibi tanımlanabilir:

dirac delta tanımı
Dirac Delta Fonksiyonu

Görsel olarak ifade edecek olursak:

dirac delta x0
dirac delta fonksiyonu

Görselde gördüğümüz sivri yapının alanı 1 olarak tanımlanmıştır. Bu yüzden, -∞ ile +∞ arasında tanımlanan bir integralin sonucu da 1 olmak zorundadır. Yani:

dirac delta integral

Şimdi, bu ifadenin nasıl kullanıldığını açıklamak adına, f(x) fonksiyonunun 𝛿(x) ile çarpımına bakalım. 𝛿(x), x=0 haricinde 0 sonucunu vereceği için, çarpımı şu şekilde ifade edebiliriz:

dirac delta fonksiyonu

Eğer Kronecker delta fonksiyonu ya da Levi-Civita sembolu ile daha önceden tanışmışsanız, Dirac-delta fonksiyonunun bu ikisiyle olan benzerliğini görebilirsiniz. Şimdi, konudan sapmadan, yukarıdaki çarpımın integralini tanımlayalım:

dirac delta fonksiyon integral

f(0) sabit olduğundan, diyebiliriz ki:

dirac delta fonksiyonu integral 2

Eşitliğin sağ tarafındaki integrali yukarıda tanımlamıştık. Öyleyse:

dirac delta integrali sonucu

Olmuş olur. Yani, aslında 𝛿(x), fonksiyonun x=0’daki değerini, integralden “çekip” alır. Her ne kadar vektör fonksiyonu örneğimiz x=0 noktasında sonsuza gitse de, her durumda fonksiyonun sonsuza gittigi nokta x=0 olmak zorunda değil. Örneğin, x=a noktasında fonksiyon sonsuza gitsin. Ya da, keyfimiz gereği, fonksiyonun x=a noktasındaki değerini seçemek isteyelim. Öyleyse, x=a gibi bir noktada da Dirac delta fonksiyonunu tanımlamalıyız.

dirac delta grafik xa
Dirac Delta Fonksiyonu x=a
dirac delta xa tanım
Dirac Delta Fonksiyonu Genel İfadesi

Kullandığımız mantık oldukça basit. 𝛿(x), sadece içerisi 0 olduğunda 1 sonucunu vermekte. Öyleyse, içerisini x=a noktasında 0 yaparsak, x=a noktasında da Dirac delta fonksiyonunu kullanmış oluruz.

Benzer sekilde, x=a noktasında “sıçrama” yapan fonksiyonumuzun tüm uzaydaki integralinin sonucu 1’i verecektir.

dirac delta integral

Dirac delta fonksiyonu, x=a noktasındaki değeri seçeceğinden:

dirac delta xa fonksiyon

Haline gelir. Bu ifadenin integralini alırsak, yukarıdaki sonuca benzer olarak:

dirac delta xa integral fonksiyon

Elde etmiş oluruz. Bu sayede, herhangi bir a noktasında da dirac delta fonksiyonunu kullanarak, integralden f(a)’yı seçmeyi başardık. Benzer şekilde, üç boyutta da dirac delta kullanılabilir. Ancak biz, bu yazımızda buna değinmeyecek; yukarıda Dirac delta fonksiyonuna neden ihtiyacımız olduğunu gösterirken kullandığımız ifadeyi incelemekle yetineceğiz.

Dirac Delta Fonksiyonu ve Vektör Potansiyeli Örneği

İntegralimizin sonucunun 4π olduğunu söylemiştik. Öyleyse, del dot vektör pot ifadesini şöyle tanımlayabiliriz:

dirac delta vektör potansiyel

r vektörü 3 boyutta tanımlandığı icin için, 3 boyutta Dirac delta kullanmamız gerekiyor. 3 boyutta Dirac delta, “𝛿³(r)” şeklinde ifade edilmekte. Yani ifade, fonksiyonun yalnizca (0,0,0) noktasındaki değerini 4π olarak vermekte. Geri kalan her yerde de 0 sonucunu vermekte.

İlerleyen yazılarımızda, özellikle elektrodinamik hakkında konuşurken, Dirac delta fonksiyonunu bolca kullanacağız.

Ege Can KARANFİL

Referanslar
1.David J. Griffiths, Introduction to Electrodynamics, 4th edition, Pearson
2. David J. Griffiths, Introduction to Quantum Mechanics, 2nd edition
3. Prof. Dr. Gürsevil TURAN, Quantum Physics ders notları


Figürler
1.David J. Griffiths, Introduction to Electrodynamics, 4th edition, sayfa 46
2.David J. Griffiths, Introduction to Electrodynamics, 4th edition, sayfa 47

Etiketler
Daha Fazla Göster

Ege Can Karanfil

Orta Doğu Teknik Üniversitesi Fizik Bölümü öğrencisi. Evrimsel biyolojiye ve Matematiğe de ilgi duymakta. Boş vakitlerinde müzik ve kaligrafi ile ilgileniyor. Demiryolu ve O302 sevdalısı.

Bir cevap yazın

Başa dön tuşu
Kapalı
Kapalı