Paylaşım Yap
Tüm Reklamları Kapat
Tüm Reklamları Kapat

Kuantum Mekaniği: Küresel Koordinatlarda Schrödinger Denklemi

Kuantum Mekaniği: Küresel Koordinatlarda Schrödinger Denklemi
10 dakika
742
  • Özgün
Tüm Reklamları Kapat
Eğer incelemek istediğimiz fiziksel sistemin potansiyeli küresel simetrik bir dağılıma sahipse, Schrödinger Denklemi'ni küresel koordinatlarda çalışmak oldukça pratik olacaktır. (Bkz. Küresel koordinatlar) Çözümler sırasında bütün diferansiyel denklemlerin detaylarına girmeyeceğim, fakat bunların çözümlerinin getirdiği sonuçlar kesinlikle dikkat çekici olacaktır. Bu yüzden sonucun neden böyle çıktığını daha iyi anlamak adına bu tipteki diferansiyellerin çözümüne olabildiğince değinmeye çalıştım. Fakat elbette tümünü bir başlık altında çözmemiz mümkün değil, bu sebeple bir kısmını sizin ilginize bırakıyorum. Yazının sonunda kuantum sayıları olan l ve m nin küresel koordinatlarda schrödinger denklemi çözümü sırasında nasıl elde edildiğini göreceğiz.
Schrödinger Denklemi;
Denklem 1
Denklem 1
Klasik mekanikte kinetik enerji ile potansiyel enerjinin toplamını ifade eden Hamiltonyen operatörü olarak gösterdiğimiz H'ı aşağıdaki şekilde açabiliriz.
Denklem 2
Denklem 2
Burada
olmak üzere, aşağıdaki şekilde ayrı ayrı yazılabilir.
Denklem 3
Denklem 3
Eğer buradaki p ifadesinin karesini alacak olursak,
Denklem 4
Denklem 4
Şimdi elimizdekileri (1) no'lu Schrödinger denkleminde yerleştirmeye başlayabiliriz. Öncelikle (2) no'lu denklem ile verilen Hamiltonyen operatörünü (1) no'lu Schrödinger denkleminde yerine yazalım.
Denklem 5
Denklem 5
Böylelikle potansiyel enerji (V) ve dalga fonksiyonu
; konumun r ve zamanın t bir fonksiyonu olarak ifade edilir. Klasik mekanikten biliyoruz ki x(t) ifade edilebiliyorsa; konumun değişiminden hızı, hızın değişiminden ivmeyi, hız ile kütleden kinetik enerjiyi, yine hızı ve kütleyi kullanarak momentumu ifade edebiliriz. Bu yüzden amacımız dalga fonksiyonunu çözmek. Eğer potansiyel V zamandan bağımsızsa
ₙ zamandan bağımsız Schrödinger denklemini sağlayacak şekilde
Denklem 6
Denklem 6
yazılır. Böylelikle
Denklem 7
Denklem 7
sağlanır. Zamana bağımlı Schrödinger denkleminin çözümü ise c_n sabitler olmak üzere
Denklem 8
Denklem 8
şeklinde ifade edilir.
Potansiyel, yalnızca orijinden olan uzaklığın bir fonksiyonu olduğundan küresel koordinatları seçmek işleri kolaylaştıracaktır. Çünkü küresel simetrik bir yapıda merkezden orijine olan koordinatlardaki değişimi kartezyen koordinat sisteminde (x,y,z)'nin tümüyle, küresel koordinatlarda ise (r,Θ,Φ)'den yalnızca r'ye bağlı olarak ele almak mümkündür. Bunu yapmak için öncelikle 7 no'lu denklemde ∇² ifadesi yerine küresel koordinatlardaki Laplace operatörünü yazmalıyız. Küresel koordinatlarda Laplace operatörü
Denklem 9
Denklem 9
olarak verildiğinden (9) no'lu denklemi (7) no'lu denklemde yerine yazarsak
Denklem 10
Denklem 10
Denklem bir hayli karışık görünüyor. Fakat elimizde mantıksal olarak kategorilendirilebilecek gibi duran değişkenler var. Bu yüzden değişkenlere ayırma metodunu kullanarak
(r,Θ,Φ)'yi dikine D ve açısal Y bileşenler cinsinden yazabiliriz.
Denklem 11
Denklem 11
Şimdi (11) no'lu denklemi, (10) no'lu denklemde yerine yazabiliriz. Burada yaptığımız tek şey \psi fonksiyonunu iki ayrı parçaya ayırmak oldu. (10) no'lu denklemde ilgili türevlerin olduğu yere ilgili parçaların geldiğine dikkat edin. Örneğin ilk parçada dD(r)/dr geliyor, bu aslında d(D(r)Y(Θ,Φ))/dr'dir. Fakat Y(Θ,Φ) parçası r'ye bağlı olmadığından bu kısımdan bir etki gelmez. Uygun şekilde düzenleyip yazarsak
Denklem 12
Denklem 12
Karmaşık görünen bu denklemi bir iki matematik hareketiyle ihtişamlı görüntüsüne kavuşturabiliriz. Öncelikle
ile çarparsak
Denklem 13
Denklem 13
Şimdi de son bir hamle olarak D(r)Y(Θ,Φ) ile bölelim
Denlem 14
Denlem 14
Böylelikle denklemimiz tamamen değişkenlerine ayrılmış oldu. Denklemin bazı parçaları yalnızca r'ye bağlı iken, geri kalanlar da yalnızca Θve Φ'ye bağlı. Daha anlaşılır şekilde düzenlersek
Denklem 15
Denklem 15
Bu son durumda üst tarafın yalnızca r'nin, alt tarafın ise yalnızca Θve Φ'nin bir fonksiyonu olduğuna dikkat edin. İki farklı parametreye ait parçaların toplamı sıfıra eşit olduğuna göre, bu parçalar birbirinin zıt işaretlisi olan iki sabite eşittir. Bu sabite x gibi herhangi bir sayı değeri atamak yerine l(l+1) diyeceğiz. Bunun sebebi çözümü getiren Legendre polinomlarıdır. Elbette biz sonucun ne olduğunu bildiğimiz için böyle bir yol izliyoruz, çözümü yeniden keşfetmediğimizi unutmayın. Direkt doğru yöntemi uygulayarak sonuca ulaşıyoruz. O yüzden kafanız "Nasıl da bunun geleceğini bildiler?" diyerek karışmasın. Bu şekilde yeniden düzenlersek
Denklem 16
Denklem 16
Böylelikle denklemimizi istediğimiz şekilde düzenlemiş olduk. Bundan sonra yapmamız gereken bu iki ayrı parçayı matematiksel metotlar izleyerek çözmek. Öncelikle üstteki denklem parçacığı ile başlayalım. Bu kısım yalnızca r'ye bağlı olduğundan dikine (radyal) parçadır. Çözümü yapmak için öncelikle f(r)=rD(r) şeklinde bir fonksiyon tanımlamamız gerekiyor. Böylesi bir fonksiyonu, denklemdeki parçalarını elde ederek yerine koyduğumuzda istediğimiz tipte bir denkleme ulaşacağız.
Öncelikle (16) no'lu denklemde üstte yer alan dikine (radyal) ifadeyi, D(r) ile çarpıyoruz.
Denklem 17
Denklem 17
Denklemin sağındaki sabit terim yerine D(r) ifadesini ekleyerek işleri biraz karmaşıklaştırmışız gibi görünebilir, fakat amacımız denklemin başındaki türev ifadesini yalın hale getirmekti. Şimdi tanımladığımız f(r) fonksiyonu üzerinden türev alıp, bu ifadede yerine yazabiliriz.
Denklem 18
Denklem 18
Bu durumda denklemde yer alan aşağıdaki ifade f(r) cinsinden
Denklem 19
Denklem 19
şekline gelir. Şimdi bunu (17) no'lu denklemde yerine yazarak
Denklem 20
Denklem 20
Burada 1/r ifadesi biraz rahatsız edici duruyor. Bu yüzden denklemi r ile çarpıyoruz.
Denklem 21
Denklem 21
Şimdi denklemimiz çok daha sade bir görüntüye kavuştu. Son bir hamleyle tek boyuttaki Schrödinger denklemine benzetmemiz mümkün görünüyor. Tek boyutta Schrödinger denklemi aşağıdaki şekilde veriliyordu.
Denklem 22
Denklem 22
(21) no'lu denklemi
ile çarparsak, denklemin ilk ifadesini benzetmiş oluruz.
Denklem 23
Denklem 23
 
Şimdi yapmamız gereken denklemin sağ tarafındaki ifadeyi sola geçirip, E ifadesini de sağa geçirmek
Denklem 24
Denklem 24
Böylelikle elde ettiğimiz denklem şekil olarak (22) no'lu tek boyuttaki Schrödinger denklemiyle aynıdır. (22) no'lu denklemle kıyasladığımız zaman büyük parantez içerisinde kalan ifadenin aslında tamamının potansiyel olduğunu görürüz. Burada potansiyel V'ye ek olarak
verilen potansiyel terimine; klasik mekanikte, parçacığı merkezden dışarı doğru itme etkisi gösteren merkezkaç etkisi gibi bir etki gösterdiği için merkezkaç potansiyeli denir. Bu noktadan sonrası için V(r) potansiyelinin bilinmesi gerektiğinden burada bırakıyoruz.
Sırada (16) no'lu denklemimizde alt kısımda verilen Θve Φ'ye bağlı açısal kısım var. Bu kısmın sonucunu matematiksel olarak daha etkileyici bulduğumdan sona bırakmak istedim. Kolayca görebilmek adına (16) no'lu denklemi tekrar yazalım.
Denklem 25
Denklem 25
Artık alttaki denklem ile ilgileniyoruz. Bu denklemi Y(Θ,Φ)\sin²(Θ) ile çarparsak
Denklem 26
Denklem 26
Şimdi yine, daha önce yaptığımız gibi değişkenlere ayırma metodunu izleyeceğiz. Y(Θ,Φ) fonksiyonu Θ ve Φ'nin fonksiyonları olarak ayrı ayrı yazılabilir.
Denlem 27
Denlem 27
Burada kolayca anlaşılsın diye Θ (teta) için T harfini, Φ (fi) için de F harfini seçtim. Karmaşık sembollerle donatmak yerine, böyle okumanın daha kolay olacağını düşünüyorum. Elbette siz istediğiniz bir harfi veya sembolü atayabilirsiniz. (27) no'lu ifadeyi (26)'da yerine yazalım
Denklem 28
Denklem 28
İçeride yer alan türevleri aşağıdaki şekilde çözebiliriz.
Denklem 29
Denklem 29
Sağdaki ifade yalnızca Φ'ye bağlı bir fonksiyonun Θ'ya göre değişimi 0 olacağından gider. Böylece denklem parçası
Denklem 30
Denklem 30
halini alır. Bunu yerine koymadan önce ilgilenenmeniz gereken diğer denklem parçası var.
Denklem 31
Denklem 31
Eşitliğin solda kalan parçası yalnızca Θ'ya bağlı fonksiyonun Φ'ye göre değişimi 0 olduğundan gider.
Denklem 32
Denklem 32
Bir kez daha bu ifadenin Φ'ye göre değişimini alırsak
Denklem 33
Denklem 33
Yine aynı sebepten denklem parçası sadeleşerek aşağıdaki şekilde düzenlenebilir.
Denklem 34
Denklem 34
(30) ve (34) no'lu denklemler (28) no'lu denklemde yerine yazılırsa
Denklem 35
Denklem 35
Eşitliği T(Θ)F(Φ) ile bölüp, sağdaki ifadeyi de sola alırsak denklem
Denklem 36
Denklem 36
şeklini alır. Böylelikle denklemin ilk terimi yalnızca Θ, ikinci terimi ise yalnızca Φ cinsinden yazılarak denklem değişkenlerine ayrıştırılmış oldu. Yine daha önceki sebeplerimizden ötürü bu sefer bir tarafı m²'ye diğer tarafı -m²'ye eşitleyeceğiz.
Denklem 37
Denklem 37
Alttaki diferansiyel denklemin çözümü oldukça kolaydır.
Denklem 38
Denklem 38
Bu tipteki bir denklemde
şeklinde bir çözüm olduğunu varsayalım. Bu durumda denklem
Denklem 40
Denklem 40
Buradaki türev ifadesini aşağıdaki şekilde açıp yerine yazalım.
Denklem 41
Denklem 41
Burada
olacaktır. Bu durumda parantez içerisindeki ifadenin sıfır olması gerekir. Bu eşitliğin çözümü
Denklem 42
Denklem 42
olarak karşımıza çıkar. Bu durumda yalnızca Φ'ye bağımlı fonksiyonumuz
Denklem 43
Denklem 43
şeklinde yazılabilir. Burada negatif olan çözümün nereye gittiğini sorabilirsiniz. Burayı pozitif alarak m'nin negatif değerleri için bu koşulu da sağladığımıza dikkat edin. Böylelikle m hem negatif hem pozitif olabilir. Aslında buradaki çözüm tam olarak
şeklindedir. Buradaki c₁ herhangi bir katsayıdır, bunu fonksiyonumuza dahil ederek yazmadık.
Küresel koordinatlarda Φ'yi 2π kadar artırdığımızda aynı noktaya geri döndüğümüze göre
Denklem 44
Denklem 44
yazabiliriz. Bunu alıp (42) no'lu denklemde yerine yazarsak
Denklem 45
Denklem 45
Ve şimşeklerin çaktığı an! Böylesi bir eşitliğin sağlanabilmesi için
olmalıdır ve bu ancak m'nin aşağıdaki değerleri için mümkündür.
Şimdi Θ denklemine dönebiliriz.
Bu tipteki diferansiyel denklemin çözümü diğeri kadar kolay değildir. Çözüm
birleşik (assosiye) Legendre fonksiyonu olmak üzere
olarak verilir. Birleşik Legendre fonksiyonu ise aşağıdaki şekilde tanımlanır.
Burada verilen Pₗ(x) l-inci Legendre polinomudur. n-inci derecen bir Legendre polinomu Rodrigues formülü ile aşağıdaki şekilde tanımlanır.
İlk birkaç Legendre polinomu aşağıdaki şekildedir.
İlk birkaç legendre polinomunun grafik gösterimi
İlk birkaç legendre polinomunun grafik gösterimi
Legendre polinomlarını bildiğimize göre birleşik (assosiye) legendre fonksiyonlarını da bulabiliriz. Burada m=0 için
olduğuna dikkat edin. Bu durumda ilk birkaç birleşik legendre fonksiyonu aşağıdaki şekilde verilebilir. (Fonksiyon ile polinom arasındaki farka dikkat edin!)
m=0 ve l=0,1,2,3 değerleri için
m=1 ve l=1,2,3 değerleri için
m=2 ve l=2,3,4 değerleri için
Burada dikkatinizi bir şeyin çekmiş olması gerekiyor. Daima |m|≤l koşulundaki sonuçlardan bahsettik. Bunun sebebi |m|>l durumunda (d/dx)'in mertebesinin, önüne geldiği l-inci Legendre polinomunu sıfır yapmasıdır. Böylesine bir durum için m'nin alabileceği (2l+1) tane değer vardır. Bu değerler
m=-l, -l+1,...,-1,0,1,...,l-1,l aralığındadır. (l=0,1,2,3,...) olmak üzere.
İlk birkaç birleşik (assosiye) legendre fonksiyonu
İlk birkaç birleşik (assosiye) legendre fonksiyonu
Şimdi normalizasyon işlemini uygulayabiliriz. Hacim elemanı üzerinden integral alacak olursak
Bunları ayrı ayrı da normlayabileceğimiz açıktır.
Normlanmış açısal dalga fonksiyonlarının matematiksel çok özel bir karşılığı vardır ve fizikte sıklıkla karşımıza çıkar. Bunlara küresel harmonikler diyoruz. Aşağıdaki şekilde tanımlanır.
Buradaki ε aşağıdaki aşağıdaki ilk birkaç küresel harmonikte de deneyimleyeceğiniz üzere m≥ 0 için
, m≤ 0 için ise ε=1 koşulunu sağlar.
İlk birkaç küresel harmonik
Bazı
'lerin grafik gösterimi
İşte burada gördüğümüz l açısal momentum kuantum sayısını (ya da azimutal kuantum sayısını), m de manyetik kuantum sayısını ifade eder. Böylelikle lisede görüp de nereden geldiğine pek de anlam veremediğimiz bu iki kuantum sayısı bu şekilde elde edilir.
Ögetay Kayalı
Kaynaklar
1. Kuantum Mekaniğine Giriş - II Ders Notları - Cemal Parlak - Ege Üniversitesi 
2. Kuantum Mekaniğine Giriş - David J. Griffiths - Çeviri: Haluk Özbek, Sondan Durukanoğlu Feyiz
3. http://www.rpi.edu/dept/phys/Courses/phys410/lct4.pdf
4. http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/quantum/sch3d.html
5. http://mathworld.wolfram.com/LegendrePolynomial.html
6. http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/math/legend.html
7. http://mathworld.wolfram.com/AssociatedLegendrePolynomial.html
8. http://mathworld.wolfram.com/SphericalHarmonic.html
 
Bu Makaleyi Alıntıla
Okundu Olarak İşaretle
0
0
  • Paylaş
  • Alıntıla
  • Alıntıları Göster
Paylaş
Sonra Oku
Notlarım
Yazdır / PDF Olarak Kaydet
Bize Ulaş
Yukarı Zıpla

İçeriklerimizin bilimsel gerçekleri doğru bir şekilde yansıtması için en üst düzey çabayı gösteriyoruz. Gözünüze doğru gelmeyen bir şey varsa, mümkünse güvenilir kaynaklarınızla birlikte bize ulaşın!

Bu içeriğimizle ilgili bir sorunuz mu var? Buraya tıklayarak sorabilirsiniz.

Soru & Cevap Platformuna Git
Bu İçerik Size Ne Hissettirdi?
  • Muhteşem! 0
  • Tebrikler! 0
  • Bilim Budur! 0
  • Mmm... Çok sapyoseksüel! 0
  • Güldürdü 0
  • İnanılmaz 0
  • Umut Verici! 0
  • Merak Uyandırıcı! 0
  • Üzücü! 0
  • Grrr... *@$# 0
  • İğrenç! 0
  • Korkutucu! 0
Tüm Reklamları Kapat

Evrim Ağacı'na her ay sadece 1 kahve ısmarlayarak destek olmak ister misiniz?

Şu iki siteden birini kullanarak şimdi destek olabilirsiniz:

kreosus.com/evrimagaci | patreon.com/evrimagaci

Çıktı Bilgisi: Bu sayfa, Evrim Ağacı yazdırma aracı kullanılarak 29/03/2024 09:09:12 tarihinde oluşturulmuştur. Evrim Ağacı'ndaki içeriklerin tamamı, birden fazla editör tarafından, durmaksızın elden geçirilmekte, güncellenmekte ve geliştirilmektedir. Dolayısıyla bu çıktının alındığı tarihten sonra yapılan güncellemeleri görmek ve bu içeriğin en güncel halini okumak için lütfen şu adrese gidiniz: https://evrimagaci.org/s/12599

İçerik Kullanım İzinleri: Evrim Ağacı'ndaki yazılı içerikler orijinallerine hiçbir şekilde dokunulmadığı müddetçe izin alınmaksızın paylaşılabilir, kopyalanabilir, yapıştırılabilir, çoğaltılabilir, basılabilir, dağıtılabilir, yayılabilir, alıntılanabilir. Ancak bu içeriklerin hiçbiri izin alınmaksızın değiştirilemez ve değiştirilmiş halleri Evrim Ağacı'na aitmiş gibi sunulamaz. Benzer şekilde, içeriklerin hiçbiri, söz konusu içeriğin açıkça belirtilmiş yazarlarından ve Evrim Ağacı'ndan başkasına aitmiş gibi sunulamaz. Bu sayfa izin alınmaksızın düzenlenemez, Evrim Ağacı logosu, yazar/editör bilgileri ve içeriğin diğer kısımları izin alınmaksızın değiştirilemez veya kaldırılamaz.

Tüm Reklamları Kapat
Keşfet
Akış
İçerikler
Gündem
Hızlı
Gezegen
Egzersiz
Yangın
Kuantum Fiziği
Diyet
Mavi
Antibiyotik
Balina
Evrim Tarihi
Genetik Değişim
İngiltere
Şiddet
Tür
Türlerin Kökeni
Hayatta Kalma
Gebelik
Doğal
Biyocoğrafya
Radyoaktif
Oyun
Astrofizik
Buz
İyi
Damar
Aklımdan Geçen
Komünite Seç
Aklımdan Geçen
Fark Ettim ki...
Bugün Öğrendim ki...
İşe Yarar İpucu
Bilim Haberleri
Hikaye Fikri
Video Konu Önerisi
Başlık
Gündem
Bugün Türkiye'de bilime ve bilim okuryazarlığına neler katacaksın?
Bağlantı
Kurallar
Komünite Kuralları
Bu komünite, aklınızdan geçen düşünceleri Evrim Ağacı ailesiyle paylaşabilmeniz içindir. Yapacağınız paylaşımlar Evrim Ağacı'nın kurallarına tabidir. Ayrıca bu komünitenin ek kurallarına da uymanız gerekmektedir.
1
Bilim kimliğinizi önceleyin.
Evrim Ağacı bir bilim platformudur. Dolayısıyla aklınızdan geçen her şeyden ziyade, bilim veya yaşamla ilgili olabilecek düşüncelerinizle ilgileniyoruz.
2
Propaganda ve baskı amaçlı kullanmayın.
Herkesin aklından her şey geçebilir; fakat bu platformun amacı, insanların belli ideolojiler için propaganda yapmaları veya başkaları üzerinde baskı kurma amacıyla geliştirilmemiştir. Paylaştığınız fikirlerin değer kattığından emin olun.
3
Gerilim yaratmayın.
Gerilim, tersleme, tahrik, taciz, alay, dedikodu, trollük, vurdumduymazlık, duyarsızlık, ırkçılık, bağnazlık, nefret söylemi, azınlıklara saldırı, fanatizm, holiganlık, sloganlar yasaktır.
4
Değer katın; hassas konulardan ve öznel yoruma açık alanlardan uzak durun.
Bu komünitenin amacı okurlara hayatla ilgili keyifli farkındalıklar yaşatabilmektir. Din, politika, spor, aktüel konular gibi anlık tepkilere neden olabilecek konulardaki tespitlerden kaçının. Ayrıca aklınızdan geçenlerin Türkiye’deki bilim komünitesine değer katması beklenmektedir.
5
Cevap hakkı doğurmayın.
Bu platformda cevap veya yorum sistemi bulunmamaktadır. Dolayısıyla aklınızdan geçenlerin, tespit edilebilir kişilere cevap hakkı doğurmadığından emin olun.
Ekle
Soru Sor
Sosyal
Yeniler
Daha Fazla İçerik Göster
Popüler Yazılar
30 gün
90 gün
1 yıl
Evrim Ağacı'na Destek Ol

Evrim Ağacı'nın %100 okur destekli bir bilim platformu olduğunu biliyor muydunuz? Evrim Ağacı'nın maddi destekçileri arasına katılarak Türkiye'de bilimin yayılmasına güç katın.

Evrim Ağacı'nı Takip Et!
Yazı Geçmişi
Okuma Geçmişi
Notlarım
İlerleme Durumunu Güncelle
Okudum
Sonra Oku
Not Ekle
Kaldığım Yeri İşaretle
Göz Attım

Evrim Ağacı tarafından otomatik olarak takip edilen işlemleri istediğin zaman durdurabilirsin.
[Site ayalarına git...]

Filtrele
Listele
Bu yazıdaki hareketlerin
Devamını Göster
Filtrele
Listele
Tüm Okuma Geçmişin
Devamını Göster
0/10000
Bu Makaleyi Alıntıla
Evrim Ağacı Formatı
APA7
MLA9
Chicago
Ö. Kayalı. Kuantum Mekaniği: Küresel Koordinatlarda Schrödinger Denklemi. (9 Temmuz 2016). Alındığı Tarih: 29 Mart 2024. Alındığı Yer: https://evrimagaci.org/s/12599
Kayalı, Ö. (2016, July 09). Kuantum Mekaniği: Küresel Koordinatlarda Schrödinger Denklemi. Evrim Ağacı. Retrieved March 29, 2024. from https://evrimagaci.org/s/12599
Ö. Kayalı. “Kuantum Mekaniği: Küresel Koordinatlarda Schrödinger Denklemi.” Edited by Ögetay Kayalı. Evrim Ağacı, 09 Jul. 2016, https://evrimagaci.org/s/12599.
Kayalı, Ögetay. “Kuantum Mekaniği: Küresel Koordinatlarda Schrödinger Denklemi.” Edited by Ögetay Kayalı. Evrim Ağacı, July 09, 2016. https://evrimagaci.org/s/12599.
ve seni takip ediyor

Göster

Şifrenizi mi unuttunuz? Lütfen e-posta adresinizi giriniz. E-posta adresinize şifrenizi sıfırlamak için bir bağlantı gönderilecektir.

Geri dön

Eğer aktivasyon kodunu almadıysanız lütfen e-posta adresinizi giriniz. Üyeliğinizi aktive etmek için e-posta adresinize bir bağlantı gönderilecektir.

Geri dön

Close