Paylaşım Yap
Tüm Reklamları Kapat
Tüm Reklamları Kapat

Kuantum Mekaniği: Lineer Bağımlılık ve Lineer Bağımsızlık

Kuantum Mekaniği: Lineer Bağımlılık ve Lineer Bağımsızlık
5 dakika
1,614
  • Özgün
Tüm Reklamları Kapat

Kuantum mekaniğinin dilinde lineer cebirin öneminden bahsetmiştik. Lineer cebirde de bizim için en önemli konulardan biri lineer bağımlılık ve lineer bağımsızlıktır. Bazen "iki vektör birbirinden lineer bağımsız olmalı" deriz, peki bununla neyi ima etmek isteriz?

Diyelim ki iki tane birbirine paralel olmayan |V> ve |W> vektörlerimiz olsun. Bunları toplarsak |V> + |W> şeklinde başka bir vektör elde ederiz. Peki bunları a ve b gibi herhangi iki reel skalerle çarparsak ne olur? Bunu önce matematiksel olarak ifade edelim.

Tüm Reklamları Kapat

a|V>+b|W>

Buna |V> ve |W> vektörlerinin lineer kombinasyonları diyeceğiz.Burada a ve b herhangi bir reel sayı, dolayısıyla burada tüm reel sayıları kapsayan çeşitli kombinasyonlarda |V> ve |W> vektörlerini yeniden ölçeklendiriyor (negatifse tersi yönde çevirerek ölçeklendiriyor) ve toplayarak başka bir vektör elde ediyoruz. Sonuç olarak elimizde sadece bu iki vektörün ve bu iki keyfi skalerin tanımladığı bir vektörler kümesi oluyor. Buna germe (span) adını veriyoruz. Fazla tanımlama yaptık ve biraz soyut kaldı, biliyorum. O nedenle anlattığımızı görselleştirmeye çalışalım.

Tüm Reklamları Kapat

Figür 1: Lineer cebirde germe (span).
Figür 1: Lineer cebirde germe (span).

Sezgisel olarak da anlayacağımız üzere bu iki vektörün ilgili lineer kombinasyonuyla aynı düzlemde yer alan diğer vektörlerden herhangi birini tanımlayabiliriz. Dolayısıyla 2 boyutlu uzayda yer alan çoğu vektörün germesi, 2 boyutlu bir uzaydaki tüm vektörlerdir. Burada çoğu dediğimize dikkat edin, çünkü başta bir kabul yapmıştık. Bu iki vektör birbirine paralel olmayacaktı. Peki paralel olursa ne olur?

İki vektörün birbirine paralel olması durumunda, bunların lineer kombinasyonları yine aynı doğrultu üzerinde yer alır. Bu sefer 2 boyutlu bir uzay söz konusu değildir, daha kaba bir tabirle, tüm kombinasyonları düşünecek olsak dahi, 2 boyutlu düzlemi oluşturacak bir vektör kümesi ortaya çıkmaz. Çok daha kaba bir tabirle bu iki vektör aynı doğru üzerinde yer alırlar. Dolayısıyla bunların lineer kombinasyonları sadece bu doğru parçasının uzunluğunu değiştirir.

Üç Boyutta Vektörlerin Germesi (Spanı)

Az önce sadece iki vektörden bahsettik, peki bu iki vektör üç boyutta yer alırsa bunların germesi ne olur? Sezgisel olarak bunun yine bir düzlem olacağını ve bu düzlemin hangi düzlem olacağının da bu vektörlere bağlı olacağını hemen söyleyebilirsiniz. Peki üç boyutlu bir uzayda üç vektörün germesi hakkında ne söyleyebiliriz? Bunun cevabını sezgisel olarak bulmak için iki tanesiyle bir düzlem oluşturduğunuzu ve üçüncünün kombinasyonuyla da bu düzlemi uzayda (ileri-geri) tarattığınızı düşünebilirsiniz. Yani aslında bu, uzayın tamamını ifade edecektir. Fakat bu üç vektörden birisi diğerine paralelse, yine bir düzlemle kısıtlanırız. Hepsinin birbirine paralel olması durumunda da yine tek boyuta düşer.

Evrim Ağacı'ndan Mesaj

Figür 2: 3 boyutlu uzayda iki vektörün germesi bir düzlemdir. Buraya eklenecek üçüncü ve diğerlerine paralel olmayan bir vektörün lineer kombinasyonları bu düzlemi ileri geri öteleyerek 3 boyutlu uzayın tamamını taratır.
Figür 2: 3 boyutlu uzayda iki vektörün germesi bir düzlemdir. Buraya eklenecek üçüncü ve diğerlerine paralel olmayan bir vektörün lineer kombinasyonları bu düzlemi ileri geri öteleyerek 3 boyutlu uzayın tamamını taratır.

Şimdi tüm bunlar ne anlama geliyor? Tahmin edeceğiniz üzere aslında birbirine paralel olan veya olmayan vektörlerin, lineer kombinasyonlarının verdiği sonuçların farkını inceliyor ve bir tanımlama yapmaya çalışıyoruz. Örneğin eğer üçüncü vektörün eklenmesi germeye bir katkı yapıp, onu bir düzlemden üç boyutlu uzayın tamamına taşımıyorsa, bu üçüncü vektörün, diğer iki vektörden birine lineer bağımlı olduğunu söyleriz.

Dolayısıyla özet olarak, eğer her bir vektör, germenin boyutunu artırıyorsa, bu vektörler lineer bağımsızdır. Fakat eğer bir vektör toplama eklendiği halde germenin boyutunu artırmıyorsa, bu vektör diğerlerinden birinin lineer kombinasyonu olarak ifade edilebilir, dolayısıyla lineer bağımlıdır.

Bir başka deyişle lineer bağımlı olan vektör, zaten diğer vektörlerin oluşturduğu germenin içerisinde yer alır.

Bir vektör uzayının bazı (basis) ise, uzayın tamamını geren lineer bağımsız vektörler kümesidir. Bunun sıkça üzerinde şapka olan i ve j ile gösterildiğini görebilirsiniz, fakat elbette ki herhangi bir harfle ifade edilebilir. Üzerinde şapka olması durumunda genel olarak onların birer baz vektör olduğunu ifade ederiz.

Lineer Bağımlılık ve Lineer Bağımsızlık Bağımlılık

Yukarıdaki sezgisel açıklamalarımızı sindirdiğimize göre, lineer bağımsızlığı aşağıdaki şekilde tanımlayabiliriz.

Tüm Reklamları Kapat

Eğer yukarıdaki ilişkide ai=0 bayağı çözümü tek çözümse, bu vektörler lineer bağımsızdır. Eğer değilse, lineer bağımlıdır. Buradaki |v> vektörünü n adet lineer bağımsız baz vektörleri cinsinden yazabiliriz.

Burada |i> vektörleri baz oluşturur. Aslında şu anda matematiksel olarak gösterdiklerimiz, bir daha önce anlattıklarımızın sadece denklemlere dökülmüş halidir. Burada vi bir skalerdir ve baz vektörü olan i ile çarptığımızda (n-boyutlu uzayda her i için n kere) bize toplamda v vektörünü verir. vi skalerlerine ilgili vektörün bileşenleri de denir.

Örneğin x, y ve z baz vektörleri için bu üç boyutta yer alan bir vektörü 3x+2y+5z şeklinde ifade edebiliriz. Burada v1=3, v2=2 ve v3=5'tir. |1>=x, |2>=y ve |3>=z şeklinde ifade ettiğimize dikkat edin. Eğer bunlar kafa karıştırıcı geliyorsa toplamları açarak yazıp görmeniz yardımcı olacaktır. Kabaca yukarıdaki toplamı 3 boyutlu uzay için şu şekilde açabiliriz: |v>=v1|1>+v2|2>+v3|3>. Burada v1, v2 ve v3 ilgili baz vektörlerinin bileşenleridir.

Aşağıdaki dört boyutlu örneği ele alalım.

Tüm Reklamları Kapat

Bu dört vektör birbirinden lineer bağımsızdır. Ya da bir başka deyişle birini diğerlerinin lineer kombinasyonları şeklinde ifade etmek mümkün değildir. Bu sayede herhangi bir 2x2 matrisi bu dört vektörün lineer kombinasyonu şeklinde ifade edebiliriz.

Daha basit bir ifadeyle a, b, c ve d'yi keyfi olarak değiştirerek tüm 2x2 matrisleri yazmak mümkündür. Eğer burada a, b, c ve d reel sayılardan oluşuyorsa buna reel dört boyutlu bir uzay, eğer kompleks sayılardan oluşuyorsa kompleks dört boyutlu uzay deriz.

Bu noktada şuna dikkat çekmek gerek, bu matrislerin sıfırlardan ve birlerden oluşması bir zorunluluk değil. Örneğin birinci matristeki bir sayısı yerine 2 olsaydı da bunlar yine lineer bağımsız olacaktı. Çünkü diğer matrislerin birinci satır, birinci sütunda sadece sıfır var. Dolayısıyla bunu diğerleri cinsinden, bazı skalerlerle çarparak elde etmek mümkün değil.

Tüm bu kavramları daha iyi anlamak için muhakkak referanstaki 3Blue1Brown animasyonlu anlatımına göz atmanızı öneriyoruz. Listedeki bütün lineer cebir videoları, bu konuları anlamanıza çok yardımcı olacaktır.

Tüm Reklamları Kapat

Agora Bilim Pazarı
India Cherry AA Robusta Yöresel Kahve 1000 gr.

The Coffee Belt India Cherry AA Robusta Yöresel Kahve 1000 gr.UYARI: Bu ürün, müşterilerimizin tercihine göre özel olarak öğütülerek (veya hiç öğütülmeden) temin edilmektedir; yani müşteri talebine özel olarak hazırlanmaktadır. Bu nedenle lütfen sipariş notlarına talep ettiğiniz öğütme türünü ekleyiniz:

  1. Çekirdek (Öğütme İstemiyorum)
  2. Filtre Kahve Makinesi,
  3. Espresso (Öğütülmüş),
  4. French Press,
  5. Moka Pot,
  6. Hario V60,
  7. Aeropress,
  8. Metal Filtre,
  9. Chemex – Pour Over.

Tercih belirtilmemesi halinde öğütülmemiş çekirdekler gönderilecektir ve tarafınızdan öğütülmesi veya değirmen olan bir yerde öğüttürülmesi gerekecektir.

Devamını Göster
₺399.00
India Cherry AA Robusta Yöresel Kahve 1000 gr.
  • Dış Sitelerde Paylaş


Hazırlayan: Ögetay Kayalı

Referanslar

1. R. Shankar, Principles of Quantum Mechanics, "Mathematical Introduction"

2. 3Blue1Brown, Essence of Linear Algebra, "Linear combinations, span, and basis vectors", <https://youtu.be/k7RM-ot2NWY?list=PLZHQObOWTQDPD3MizzM2xVFitgF8hE_ab>

Bu Makaleyi Alıntıla
Okundu Olarak İşaretle
0
0
  • Paylaş
  • Alıntıla
  • Alıntıları Göster
Paylaş
Sonra Oku
Notlarım
Yazdır / PDF Olarak Kaydet
Bize Ulaş
Yukarı Zıpla

İçeriklerimizin bilimsel gerçekleri doğru bir şekilde yansıtması için en üst düzey çabayı gösteriyoruz. Gözünüze doğru gelmeyen bir şey varsa, mümkünse güvenilir kaynaklarınızla birlikte bize ulaşın!

Bu içeriğimizle ilgili bir sorunuz mu var? Buraya tıklayarak sorabilirsiniz.

Soru & Cevap Platformuna Git
Bu İçerik Size Ne Hissettirdi?
  • Muhteşem! 0
  • Tebrikler! 0
  • Bilim Budur! 0
  • Mmm... Çok sapyoseksüel! 0
  • Güldürdü 0
  • İnanılmaz 0
  • Umut Verici! 0
  • Merak Uyandırıcı! 0
  • Üzücü! 0
  • Grrr... *@$# 0
  • İğrenç! 0
  • Korkutucu! 0
Tüm Reklamları Kapat

Evrim Ağacı'na her ay sadece 1 kahve ısmarlayarak destek olmak ister misiniz?

Şu iki siteden birini kullanarak şimdi destek olabilirsiniz:

kreosus.com/evrimagaci | patreon.com/evrimagaci

Çıktı Bilgisi: Bu sayfa, Evrim Ağacı yazdırma aracı kullanılarak 29/03/2024 10:10:08 tarihinde oluşturulmuştur. Evrim Ağacı'ndaki içeriklerin tamamı, birden fazla editör tarafından, durmaksızın elden geçirilmekte, güncellenmekte ve geliştirilmektedir. Dolayısıyla bu çıktının alındığı tarihten sonra yapılan güncellemeleri görmek ve bu içeriğin en güncel halini okumak için lütfen şu adrese gidiniz: https://evrimagaci.org/s/13014

İçerik Kullanım İzinleri: Evrim Ağacı'ndaki yazılı içerikler orijinallerine hiçbir şekilde dokunulmadığı müddetçe izin alınmaksızın paylaşılabilir, kopyalanabilir, yapıştırılabilir, çoğaltılabilir, basılabilir, dağıtılabilir, yayılabilir, alıntılanabilir. Ancak bu içeriklerin hiçbiri izin alınmaksızın değiştirilemez ve değiştirilmiş halleri Evrim Ağacı'na aitmiş gibi sunulamaz. Benzer şekilde, içeriklerin hiçbiri, söz konusu içeriğin açıkça belirtilmiş yazarlarından ve Evrim Ağacı'ndan başkasına aitmiş gibi sunulamaz. Bu sayfa izin alınmaksızın düzenlenemez, Evrim Ağacı logosu, yazar/editör bilgileri ve içeriğin diğer kısımları izin alınmaksızın değiştirilemez veya kaldırılamaz.

Tüm Reklamları Kapat
Keşfet
Akış
İçerikler
Gündem
Hızlı
Gezegen
Egzersiz
Yangın
Kuantum Fiziği
Diyet
Mavi
Antibiyotik
Balina
Evrim Tarihi
Genetik Değişim
İngiltere
Şiddet
Tür
Türlerin Kökeni
Hayatta Kalma
Gebelik
Doğal
Biyocoğrafya
Radyoaktif
Oyun
Astrofizik
Buz
İyi
Damar
Aklımdan Geçen
Komünite Seç
Aklımdan Geçen
Fark Ettim ki...
Bugün Öğrendim ki...
İşe Yarar İpucu
Bilim Haberleri
Hikaye Fikri
Video Konu Önerisi
Başlık
Gündem
Bugün bilimseverlerle ne paylaşmak istersin?
Bağlantı
Kurallar
Komünite Kuralları
Bu komünite, aklınızdan geçen düşünceleri Evrim Ağacı ailesiyle paylaşabilmeniz içindir. Yapacağınız paylaşımlar Evrim Ağacı'nın kurallarına tabidir. Ayrıca bu komünitenin ek kurallarına da uymanız gerekmektedir.
1
Bilim kimliğinizi önceleyin.
Evrim Ağacı bir bilim platformudur. Dolayısıyla aklınızdan geçen her şeyden ziyade, bilim veya yaşamla ilgili olabilecek düşüncelerinizle ilgileniyoruz.
2
Propaganda ve baskı amaçlı kullanmayın.
Herkesin aklından her şey geçebilir; fakat bu platformun amacı, insanların belli ideolojiler için propaganda yapmaları veya başkaları üzerinde baskı kurma amacıyla geliştirilmemiştir. Paylaştığınız fikirlerin değer kattığından emin olun.
3
Gerilim yaratmayın.
Gerilim, tersleme, tahrik, taciz, alay, dedikodu, trollük, vurdumduymazlık, duyarsızlık, ırkçılık, bağnazlık, nefret söylemi, azınlıklara saldırı, fanatizm, holiganlık, sloganlar yasaktır.
4
Değer katın; hassas konulardan ve öznel yoruma açık alanlardan uzak durun.
Bu komünitenin amacı okurlara hayatla ilgili keyifli farkındalıklar yaşatabilmektir. Din, politika, spor, aktüel konular gibi anlık tepkilere neden olabilecek konulardaki tespitlerden kaçının. Ayrıca aklınızdan geçenlerin Türkiye’deki bilim komünitesine değer katması beklenmektedir.
5
Cevap hakkı doğurmayın.
Bu platformda cevap veya yorum sistemi bulunmamaktadır. Dolayısıyla aklınızdan geçenlerin, tespit edilebilir kişilere cevap hakkı doğurmadığından emin olun.
Ekle
Soru Sor
Sosyal
Yeniler
Daha Fazla İçerik Göster
Popüler Yazılar
30 gün
90 gün
1 yıl
Evrim Ağacı'na Destek Ol

Evrim Ağacı'nın %100 okur destekli bir bilim platformu olduğunu biliyor muydunuz? Evrim Ağacı'nın maddi destekçileri arasına katılarak Türkiye'de bilimin yayılmasına güç katın.

Evrim Ağacı'nı Takip Et!
Yazı Geçmişi
Okuma Geçmişi
Notlarım
İlerleme Durumunu Güncelle
Okudum
Sonra Oku
Not Ekle
Kaldığım Yeri İşaretle
Göz Attım

Evrim Ağacı tarafından otomatik olarak takip edilen işlemleri istediğin zaman durdurabilirsin.
[Site ayalarına git...]

Filtrele
Listele
Bu yazıdaki hareketlerin
Devamını Göster
Filtrele
Listele
Tüm Okuma Geçmişin
Devamını Göster
0/10000
Bu Makaleyi Alıntıla
Evrim Ağacı Formatı
APA7
MLA9
Chicago
Ö. Kayalı. Kuantum Mekaniği: Lineer Bağımlılık ve Lineer Bağımsızlık. (30 Ekim 2021). Alındığı Tarih: 29 Mart 2024. Alındığı Yer: https://evrimagaci.org/s/13014
Kayalı, Ö. (2021, October 30). Kuantum Mekaniği: Lineer Bağımlılık ve Lineer Bağımsızlık. Evrim Ağacı. Retrieved March 29, 2024. from https://evrimagaci.org/s/13014
Ö. Kayalı. “Kuantum Mekaniği: Lineer Bağımlılık ve Lineer Bağımsızlık.” Edited by Ögetay Kayalı. Evrim Ağacı, 30 Oct. 2021, https://evrimagaci.org/s/13014.
Kayalı, Ögetay. “Kuantum Mekaniği: Lineer Bağımlılık ve Lineer Bağımsızlık.” Edited by Ögetay Kayalı. Evrim Ağacı, October 30, 2021. https://evrimagaci.org/s/13014.
ve seni takip ediyor

Göster

Şifrenizi mi unuttunuz? Lütfen e-posta adresinizi giriniz. E-posta adresinize şifrenizi sıfırlamak için bir bağlantı gönderilecektir.

Geri dön

Eğer aktivasyon kodunu almadıysanız lütfen e-posta adresinizi giriniz. Üyeliğinizi aktive etmek için e-posta adresinize bir bağlantı gönderilecektir.

Geri dön

Close