Kuantum Mekaniği: Schwarz Eşitsizliğinin Bir Çözümü

Kuantum mekaniğinde sıklıkla karşımıza çıkan Schwarz Eşitsizliği'ne dair, Griffiths'in kitabında verilen bir sorunun çözümünü ele almak istedik. Aradığınızda Schwarz Eşitsizliği'nin elde edilişi ile ilgili farklı notasyonlar göreceksiniz. Soruda ise aşağıdaki kalıp verilerek mevcut bilgilerimizle eşitsizliğin gösterilmesi istenmiş.

\begin{equation}|\langle \alpha | \beta \rangle |^2 \leq \langle \alpha | \alpha \rangle \langle \beta | \beta \rangle\end{equation}

Vektörlere dair iç çarpım özelliklerini kullanarak bu eşitsizliği elde etmek mümkündür. Aşağıdaki ifadeden faydalanalım.

\begin{equation}| \phi \rangle = |\beta\rangle - (\,\langle\alpha|\beta\rangle/\langle\alpha|\alpha\rangle)\,|\alpha\rangle\end{equation}

Ayrıca biliyoruz ki;

\begin{equation}\langle\alpha|\alpha\rangle\geq 0\end{equation}

Eğer (2) no'lu denklemi ile çarparsak,

\begin{equation}\langle\phi|\phi\rangle=\langle\phi|\bigg(|\beta\rangle-\frac{\langle\alpha|\beta\rangle}{\langle\alpha|\alpha\rangle}|\alpha\rangle\bigg)\end{equation}

\begin{equation}=\langle \phi | \beta \rangle - \frac{\langle\alpha|\beta\rangle}{\langle\alpha|\alpha\rangle} \langle \phi | \alpha \rangle \end{equation}

Burada çıkan bilmediğimiz terimlerin ne olduğunu da yine elimizdeki (2) no'lu denklem aracılığıyla araştırabiliriz. (5) no'lu denklemden gelen ifadesi için olduğundan faydalanarak (2) no'lu ifadeyi $\langle\beta|$ ile çarparsak

\begin{equation}\langle\beta|\phi\rangle=\langle\beta|\bigg(|\beta\rangle-\frac{\langle\alpha|\beta\rangle}{\langle\alpha|\alpha\rangle}\bigg)|\alpha\rangle\end{equation}

Eşitliği açarsak

\begin{equation}\langle\beta|\phi\rangle=\langle\beta|\beta\rangle - \frac{\langle\alpha|\beta\rangle}{\langle\alpha|\alpha\rangle}\langle\beta|\alpha\rangle\end{equation}

Reel ifadeler için ifadesini kullanırsak (7) no'lu denklemi aşağıdaki şekilde düzenleyebiliriz.

\begin{equation}\langle\beta|\phi\rangle=\langle\beta|\beta\rangle-\frac{|\langle\alpha|\beta\rangle|^2}{\langle\alpha|\alpha\rangle}\end{equation}

Böylelikte (5) no'lu ifadede elde ettiğimiz bilmediğimiz terimlerden birini bulduk. Geriye ifadesini bulmak kaldı. olduğundan

\begin{equation}\langle\alpha|\phi\rangle = \langle\alpha|\bigg(|\beta\rangle-\frac{\langle\alpha|\beta\rangle}{\langle\alpha|\alpha\rangle}\bigg)|\alpha\rangle\end{equation}

İfadeyi dağıtırsak;

\begin{equation}\langle\alpha|\phi\rangle = \langle\alpha|\beta\rangle-\frac{\langle\alpha|\beta\rangle}{\langle\alpha|\alpha\rangle}\langle\alpha|\alpha\rangle=0\end{equation}

Şimdi (5) no'lu denklemde (7) ve (10) no'lu denklemlerden elde ettiğimiz ifadeleri yerine yazarak denklemi aşağıdaki gibi yeniden yazabiliriz. olduğundan;

\begin{equation}\langle\beta|\beta\rangle-\frac{|\langle\alpha|\beta\rangle|^2}{\langle\alpha|\alpha\rangle}\geq0\end{equation}

Sonuç olarak Schwarz Eşitsizliği sağlanır.

\begin{equation}|\langle \alpha | \beta \rangle |^2 \leq \langle \alpha | \alpha \rangle \langle \beta | \beta \rangle\end{equation}

Ögetay Kayalı

Kaynaklar
1. Introduction to Quantum Mechanics, David J. Griffiths

Ögetay Kayalı

Astronom. Özel ilgi alanı teorik kozmoloji, özellikle Einstein'ın görelilik kuramının modifiye edilmesi (modified gravity) üzerine uğraşıyor. Bunların yanında ender bulduğu zaman aralıklarında kafasına esince programlama, 3B modelleme, makineler, tasarım, fotoğrafçılık, resim ve satranç ile de ilgileniyor.

Ögetay Kayalı 120 makale yazdıÖgetay Kayalı tarafından yazılan tüm makaleleri gör