Project Euler 2: Çift Fibonacci Sayıları

Soru: Fibonacci dizisindeki her yeni terim, önceki iki terimin toplamıdır. 1 ve 2'den başlanarak ilk 10 terim şu şekildedir:
1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ...
Dört milyonu aşmayacak şekilde çift Fibonacci terimlerinin toplamı nedir?

Bu soruyla birlikte algoritma sorularının vazgeçilmezi olan Fibonacci dizisiyle karşılaşıyoruz. Fibonacci dizilerini elde edebileceğiniz birçok algoritma mevcut, mutlaka bunlara göz atmanızı öneririm. Özellikle özyinelemeli (recursive) fonksiyonlar konusunun vazgeçilmez örneklerindendir. Burada oldukça basit bir metodu kullanacağım. Öncelikle Fibonacci dizisini elde edeceğimiz algoritmayı belirleyelim, ardından 'a kadar olan bu sayılardan hangileri çift onlara bakacağız ve çift olanların toplamının kaç ettiğini bulacağız.

\begin{equation}
1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, ...
\end{equation}

Yapmamız gereken Fibonacci dizisinin temel kuralını uygulayarak sırayla sayı dizisinin elemanlarını elde etmek ve kaba bir yaklaşımla bu sayıların çift olup olmadığını denetlemek, eğer çiftse toplama eklemek olacak. Bunun için üç tane değişken tanımlıyoruz , ve . Bunlar dizinin ilk üç elemanı olsun. Bu durumda olacağı açıktır. Çünkü Fibonacci dizisinde sıradaki terim, önceki iki terimin toplamıdır. Buraya kadar tamam, peki bundan sonrasını nasıl elde edeceğiz?

Sıradaki terim olacak. Fakat bunu elimizdeki üç değişkeni kullanarak yapmalıyız, çünkü her seferinde yeni bir değişken tanımlayamayız. Zaten tanımlayabilseydik bile bu çok verimsiz bir yöntem olurdu. Bunun yerine değişkenleri öteleyeceğiz. Yeni sıralamamızdaki ilk terim şu an elimizde olan olacak, dolayısıyla onu yapıyoruz. Şu an elimizde bulunan 'ü ise yapıyoruz. Böylelikle sayılarımızı birer ötelemiş olduk. Şimdi yapacağımız sıradaki sayıyı belirleme işlemi yine olacak, fakat bu değişkenler önceki değişkenler olduğundan aslında eskiye göre yaptığımız işlem oldu ki biz de tam olarak bunu istiyorduk.

long f1 = 1, f2 = 1, f3 = 0, top = 0;

while (f3 < 4000000)
    {
        if (f3 % 2 == 0)
            top += f3;

    f3 = f1 + f2;
    f1 = f2;
    f2 = f3;
    }

Böylelikle sonuç: 4613732 olarak bulunur.

Matematiksel Yaklaşım

\begin{equation}
(f_1) , (f_2) , (f_1+f_2) ,( f_1+2f_2) , (2f_1+3f_2) , (3f_1+5f_2) , (5f_1+8f_2) , (8f_1+13f_2), ...
\end{equation}

Soruda ve olarak başlamamız isteniyor. no'lu diziye baktığımızda çift sayılarla ilgili bir düzen fark ediyoruz. Her üç sayıda bir çift sayıyla karşılaşıyoruz. Bu durum başlangıç koşullarını göz önüne aldığımızda gayet mantıklı görünüyor. no'lu ifadeyi çiftlik teklik cinsinden tekrar yazalım.

\begin{equation}
(T), (C), (T+C), (T+2C), (2T+3C), (3T+5C), (5T+8C), (8T+13C), ...
\end{equation}

Burada çift olma durumunu belirleyen faktör 'nin başına gelen katsayıdır. Çünkü ne ile çarpılırsa çarpılsın sonuç olacaktır. Ancak olacağından, çiftlik durumunu 'nin başındaki katsayı belirler. Bu katsayı her üç tekrarda bir çift olmaktadır.

\begin{equation}
(T), (C), (T), (T), (C), (T), (T), (C), ...
\end{equation}

Böylelikle her sayının tek tek çift olup olmadığını kontrol etmek yerine, her üç seferde bir tekrarlayan elemanlara bakmak yeterli olacaktır.

Ögetay Kayalı

Ögetay Kayalı

Astronom. Özel ilgi alanı teorik kozmoloji, özellikle Einstein'ın görelilik kuramının modifiye edilmesi (modified gravity) üzerine uğraşıyor. Bunların yanında ender bulduğu zaman aralıklarında kafasına esince programlama, 3B modelleme, makineler, tasarım, fotoğrafçılık, resim ve satranç ile de ilgileniyor.

Ögetay Kayalı 120 makale yazdıÖgetay Kayalı tarafından yazılan tüm makaleleri gör