Sayısal Analiz: Simpson Kuralı ile Nümerik İntegral

Sayısal (nümerik) analizde Simpson kuralı, belirli integrallerin değerini yaklaşık olarak belirlemeye yarayan bir sayısal integral yöntemidir. Denklemi, eşit aralıklarla belirlenmiş noktalar için, aşağıdaki gibi tanımlanır. Burada noktaların eşit aralıklı olduğuna dikkat ediniz.

simpsons equation

Simpson kuralında yapılan işlem basitçe, verilen f(x) fonksiyonu üzerinde eşit aralıklarla tanımlanmış üç noktadan geçen bir p(x) kuadratik polinomu tanımlamaktır (parabol gibi). Bunu yapıyoruz, çünkü f(x) fonksiyonun verilen aralıktaki belirli integralini hesaplayamıyoruz. Fakat ona yaklaşık bir değer veren bir polinom ifade edersek ve bu polinomun bu aralıkta değerini hesaplayabiliyorsak, bu oldukça işimize yarar. Dolayısıyla verilen f(x) fonksiyonunun altında kalan alan hesaplanamadığından, buna yaklaşık olarak eşit olması beklenen p(x)'in altında kalan alan hesaplanır.

Simpsons method

p(x) polinomunun, f(x) polinomunu daha iyi temsil edebilmesi durumunda hata küçülecektir. Bu durumda, belirli aralığı daha çok şeride bölerek, daha hassas sonuçlar elde edilebilir. Aşağıdaki animasyon bu durumu göstermektedir.

Simpsons rule

Simpson Kuralının Hatası

Simpson kuralının hatası aşağıdaki gibi verilir.

simpsons error

Burada h, şeritlerimizin ölçüsüdür, yani h=(b-a)/n değerini ifade eder. Burada epsilon değeri, a ile b arasında bir değerdir.

Simpson Kuralının Elde Edilişi (İspatı)

Simpson Kuralı Örnek Soru Çözümü

Eğer Simpson kuralının teorik arkaplanını anladıysanız, aslında soru çözümü bir iki örnek görerek anlayabileceğiniz kadar basit. Tek yapmanız gereken, diğer çoğu nümerik analiz yönteminde olduğu gibi, sadece eldeki parametreleri yerine koymak. Aşağıdaki videomuzda iki ayrı örneğin çözümüne yer verdik. İyi çalışmalar!

Ögetay Kayalı

Referanslar
1. <http://mathworld.wolfram.com/SimpsonsRule.html>
Görseller: Wikipedia - Simpson's Rule

Ögetay Kayalı

Astronom. Çalışma alanı teorik kozmoloji, özellikle Einstein'ın görelilik kuramının modifiye edilmesi üzerine çalışıyor. Bunların yanında ender bulduğu zaman aralıklarında kafasına esince programlama, 3B modelleme, tasarım, fotoğrafçılık, resim ve satranç ile de ilgileniyor.

Ögetay Kayalı 118 makale yazdıÖgetay Kayalı tarafından yazılan tüm makaleleri gör