Sayısal Analiz: Bolzano Teoremi

Bolzano teoremi, özellikle sayısal (nümerik) analizde yaptığımız çözümlerde, çözüm yapmamıza olanak sağlayan teoremlerden biridir. [a,b] kapalı aralığında sürekli bir f(x) fonksiyonu için, burada a ve b reel sayılar kümesinin birer elemanıdır, f(a).f(b)<0 olması durumunda, (a,b) açık aralığında bu fonksiyonun en az bir kökünün olduğunu garanti eder.

Basit bir deyişle, eğer fonksiyon bir aralıkta sürekli ve işaretini bu aralıkta değiştiriyorsa, bu fonksiyon muhakkak f(r)=0 noktasından geçiyordur ve r değeri de bu fonksiyonun bir köküdür. Bolzano teoremi, bu aralıkta en az bir kökü olduğunu söyler, bu önemli noktaya dikkat edin. Fakat bu aralıkta birden fazla kökü de bulunabilir.

Bolzano teoremi, biz bu aralıkta bir kökün olduğunu bildiğimiz için, nümerik bir yaklaşımla çözüm yapabileceğimizi ima eder. Fakat bu aralıkta eğer birden fazla kök varsa, uyguladığınız metoda, seçtiğiniz aralığa bağlı olarak, köklerden herhangi birini bulabilirsiniz. Bu, o aralıkta bir kökün olduğunu söylemez, buna dikkat edin. Siz sadece, belirlediğini parametrelerle birine yaklaşırsınız.

Teoremi, varlık teoremlerinden ortalama değer teoremini de göz önünde bulundurarak değerlendirmenizi öneriyoruz. Ortalama değer teoremi, eğer bir araç bir yolculuk sırasında bir saat sonunda 50 kilometre yol aldıysa, yol boyunca en az bir kere saatte 50 kilometre hız değerine ulaştığını söylüyordu. Benzerlikleri yakalamaya çalışın! (Bkz. Kalkülüs: Ortalama Değer Teoremi)

Video Anlatım

Ögetay Kayalı

Referanslar
1. Turgut Öziş, Ege Üniversitesi Matematik Bölümü, Nümerik Analiz ders notları.
2. Wolfram, Bolzano's Theorem, <http://mathworld.wolfram.com/BolzanosTheorem.html>

Ögetay Kayalı

Astronom. Özel ilgi alanı teorik kozmoloji, özellikle Einstein'ın görelilik kuramının modifiye edilmesi (modified gravity) üzerine uğraşıyor. Bunların yanında ender bulduğu zaman aralıklarında kafasına esince programlama, 3B modelleme, makineler, tasarım, fotoğrafçılık, resim ve satranç ile de ilgileniyor.

Ögetay Kayalı 120 makale yazdıÖgetay Kayalı tarafından yazılan tüm makaleleri gör