Küresel Koordinatlar

Matematikte küresel koordinatlar; üç boyutlu uzaydaki bir noktayı orijine olan uzaklık r ile birbirine dik kutup açısı \theta  azimut açısı \phi ile tanımlayan koordinat sistemidir. Fizikte özellikle küresel yapılar üzerinde çalışıldığında, kartezyen koordinat sistemi olan (x,y,z) yerine, küresel koordinatları (r,\theta,\phi) tercih etmek, çözümleri oldukça basite indirger.

Örneğin; bir parametrenin merkezden yüzeye olan değişimini (gradyenini), kartezyen koordinatlarda ifade etmek için değişen üç parametre (x,y,z) kullanmamız gerekirken, kutupsal koordinatlarda sadece r'nin değişimini incelemek yeterlidir. Böylelikle problem üç değişken yerine, tek değişkenle daha basit bir şekilde incelenebilir.

Spherical_Coordinates
Küresel koordinat sistemi. z ekseninden yapılan açı (kutup açısı ya da zenit açısı) \varphi, x ekseninden yapılan açı (azimut açısı) \theta, orijinden noktaya uzaklık r ile gösterilir.

Bazı kaynaklarda \phi ile \theta yer değiştirilmiş olarak gösterilebilir. Biz burada kutup açısını (zenit açısını) \phi ile, azimut açısını da \theta ile göstereceğiz. Zenit açısı 0\leq\phi\leq180 aralığında yer alır. Azimut açısı ise, 0\leq\theta\leq360 arasındadır. Böylelikle birbirine dik iki eksende ifade edilen kutup açılarıyla bir kürenin tüm noktaları tanımlanmış olur. İsterseniz bunu şöyle düşünebilirsiniz: \theta açısını 0'dan 360'a kadar döndürün. Böylelikle bir çember çizmiş olacaksınız. Şimdi \phi açısını bir tık artırın ve \theta açısını tekrar 0'dan 360 dereceye kadar döndürün. Yine bir çember çizdiniz, fakat çizdiğiniz bu çember bir önceki çizdiğinizin bir tık üzerinde! Bu şekilde ilerleyerek bir küre yapmanız mümkün. (Elbette r'yi sabit tuttuğunuzu varsayıyorum)

Burada zenit açısıyla ilgili bir şeye dikkatinizi çekmek istiyorum. Dünya üzerinde tanımladığımız enlemler de \phi=90-\delta ile tanımlanır. Burada \delta enlemi belirtir. Eğer \phi=0 olduğu durumu inceleyecek olursanız, bunun görselde tam tepe noktasına denk geldiğini göreceksiniz. Burası Dünya üzerinde kuzey kutup noktasıdır ve enlemi \delta=90'dır. Benzer şekilde enlemi \delta=0 olan ekvator için \phi=90 derecedir.

Kartezyen Koordinat Dönüşümleri

Kartezyen koordinatlardan küresel koordinatlara geçiş için aşağıdaki eşitlikleri kullanırız. r\in[0,\infty), \theta\in[0,2\pi], \phi\in[0,\pi] ya da başka bir notasyonla \theta\in[0,360], \phi\in[0,180] olacak şekilde;

Küresel koordinat parametreleri kartezyen koordinatlar cinsinden

r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}

\theta=\arctan(y/x)

\phi=\arccos(z/r)

Kartezyen koordinat parametreleri küresel koordinatlar cinsinden

x=r\cos{\theta}\sin{\phi}

y=r\sin{\theta}\sin{\phi}

z=r\cos{\theta}

Metrikler

g_{rr}=1

g_{\theta\theta}=r^2\sin^2{\phi}

g_{\phi\phi}=r^2

Birim çizgi elemanı

d\vec{s}=d\vec{r}\hat{r}+rd\vec{\phi}\hat{\phi}+r\sin{\phi}d\vec{\theta}\hat{\theta}

Birim yüzey elemanı

d\vec{a}=r^2\sin{\phi}d\hat{\phi}d\hat{\theta}

Birim hacim elemanı

d\vec{V}=r^2\sin{\phi}d\hat{\phi}d\hat{\theta}d\hat{r}

Birim vektörler

\hat{r}=\cos{\theta}\sin{\phi}\hat{x}+\sin{\theta}\sin{\phi}\hat{y}+\cos{\phi}\hat{z}

\hat{r}=\begin{bmatrix}\cos{\theta}\sin{\phi} \\\sin{\theta}\sin{\phi} \\\cos{\phi}\end{bmatrix}

\hat{\theta}=-\sin{\theta}\hat{x}+\cos{\theta}\hat{y}

\hat{\theta}=\begin{bmatrix}-\sin{\theta}\\ \cos{\theta} \\ 0 \end{bmatrix}

\hat{\phi}=\cos{\theta}\cos{\phi}\hat{x}+\sin{\theta}\cos{\phi}\hat{y}-\sin{\phi}\hat{z}

\hat{\phi}=\begin{bmatrix}\cos{\theta}\cos{\phi} \\\sin{\theta}\cos{\phi} \\-\sin{\phi}\end{bmatrix}

Ögetay Kayalı

Kaynaklar ve İleri Okuma
1. http://mathworld.wolfram.com/SphericalCoordinates.html

Kapak Görseli
Heisenberg1234 - http://heisenberg1234.deviantart.com/art/Abstract-sphere-wallpaper-374498682

Ögetay Kayalı

Astronom. Çalışma alanı teorik kozmoloji, özellikle Einstein'ın görelilik kuramının modifiye edilmesi üzerine çalışıyor. Bunların yanında ender bulduğu zaman aralıklarında kafasına esince programlama, 3B modelleme, tasarım, fotoğrafçılık, resim ve satranç ile de ilgileniyor.

Ögetay Kayalı 118 makale yazdıÖgetay Kayalı tarafından yazılan tüm makaleleri gör