26 C
İstanbul
23 Eylül 2018
Geometri Matematik

Küresel Koordinatlar

Matematikte küresel koordinatlar; üç boyutlu uzaydaki bir noktayı orijine olan uzaklık $$r$$ ile birbirine dik kutup açısı $$\theta$$  azimut açısı $$\phi$$ ile tanımlayan koordinat sistemidir. Fizikte özellikle küresel yapılar üzerinde çalışıldığında, kartezyen koordinat sistemi olan $$(x,y,z)$$ yerine, küresel koordinatları $$(r,\theta,\phi)$$ tercih etmek, çözümleri oldukça basite indirger.

Örneğin; bir parametrenin merkezden yüzeye olan değişimini (gradyenini), kartezyen koordinatlarda ifade etmek için değişen üç parametre $$(x,y,z)$$ kullanmamız gerekirken, kutupsal koordinatlarda sadece $$r$$’nin değişimini incelemek yeterlidir. Böylelikle problem üç değişken yerine, tek değişkenle daha basit bir şekilde incelenebilir.

Spherical_Coordinates
Küresel koordinat sistemi. $$z$$ ekseninden yapılan açı (kutup açısı ya da zenit açısı) $$\varphi$$, $$x$$ ekseninden yapılan açı (azimut açısı) $$\theta$$, orijinden noktaya uzaklık $$r$$ ile gösterilir.

Bazı kaynaklarda $$\phi$$ ile $$\theta$$ yer değiştirilmiş olarak gösterilebilir. Biz burada kutup açısını (zenit açısını) $$\phi$$ ile, azimut açısını da $$\theta$$ ile göstereceğiz. Zenit açısı $$0\leq\phi\leq180$$ aralığında yer alır. Azimut açısı ise, $$0\leq\theta\leq360$$ arasındadır. Böylelikle birbirine dik iki eksende ifade edilen kutup açılarıyla bir kürenin tüm noktaları tanımlanmış olur. İsterseniz bunu şöyle düşünebilirsiniz: $$\theta$$ açısını $$0$$’dan $$360$$’a kadar döndürün. Böylelikle bir çember çizmiş olacaksınız. Şimdi $$\phi$$ açısını bir tık artırın ve $$\theta$$ açısını tekrar $$0$$’dan $$360$$ dereceye kadar döndürün. Yine bir çember çizdiniz, fakat çizdiğiniz bu çember bir önceki çizdiğinizin bir tık üzerinde! Bu şekilde ilerleyerek bir küre yapmanız mümkün. (Elbette $$r$$’yi sabit tuttuğunuzu varsayıyorum)

Burada zenit açısıyla ilgili bir şeye dikkatinizi çekmek istiyorum. Dünya üzerinde tanımladığımız enlemler de $$\phi=90-\delta$$ ile tanımlanır. Burada $$\delta$$ enlemi belirtir. Eğer $$\phi=0$$ olduğu durumu inceleyecek olursanız, bunun görselde tam tepe noktasına denk geldiğini göreceksiniz. Burası Dünya üzerinde kuzey kutup noktasıdır ve enlemi $$\delta=90$$’dır. Benzer şekilde enlemi $$\delta=0$$ olan ekvator için $$\phi=90$$ derecedir.

Kartezyen Koordinat Dönüşümleri

Kartezyen koordinatlardan küresel koordinatlara geçiş için aşağıdaki eşitlikleri kullanırız. $$r\in[0,\infty)$$, $$\theta\in[0,2\pi]$$, $$\phi\in[0,\pi]$$ ya da başka bir notasyonla $$\theta\in[0,360]$$, $$\phi\in[0,180]$$ olacak şekilde;

Küresel koordinat parametreleri kartezyen koordinatlar cinsinden

$$r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$$

$$\theta=\arctan(y/x)$$

$$\phi=\arccos(z/r)$$

Kartezyen koordinat parametreleri küresel koordinatlar cinsinden

$$x=r\cos{\theta}\sin{\phi}$$

$$y=r\sin{\theta}\sin{\phi}$$

$$z=r\cos{\theta}$$

Metrikler

$$g_{rr}=1$$

$$g_{\theta\theta}=r^2\sin^2{\phi}$$

$$g_{\phi\phi}=r^2$$

Birim çizgi elemanı

$$d\vec{s}=d\vec{r}\hat{r}+rd\vec{\phi}\hat{\phi}+r\sin{\phi}d\vec{\theta}\hat{\theta}$$

Birim yüzey elemanı

$$d\vec{a}=r^2\sin{\phi}d\hat{\phi}d\hat{\theta}$$

Birim hacim elemanı

$$d\vec{V}=r^2\sin{\phi}d\hat{\phi}d\hat{\theta}d\hat{r}$$

Birim vektörler

$$\hat{r}=\cos{\theta}\sin{\phi}\hat{x}+\sin{\theta}\sin{\phi}\hat{y}+\cos{\phi}\hat{z}$$

$$\hat{r}=\begin{bmatrix}\cos{\theta}\sin{\phi} \\\sin{\theta}\sin{\phi} \\\cos{\phi}\end{bmatrix}$$

$$\hat{\theta}=-\sin{\theta}\hat{x}+\cos{\theta}\hat{y}$$

$$\hat{\theta}=\begin{bmatrix}-\sin{\theta}\\ \cos{\theta} \\ 0 \end{bmatrix}$$

$$\hat{\phi}=\cos{\theta}\cos{\phi}\hat{x}+\sin{\theta}\cos{\phi}\hat{y}-\sin{\phi}\hat{z}$$

$$\hat{\phi}=\begin{bmatrix}\cos{\theta}\cos{\phi} \\\sin{\theta}\cos{\phi} \\-\sin{\phi}\end{bmatrix}$$

Ögetay Kayalı

Kaynaklar ve İleri Okuma
1. http://mathworld.wolfram.com/SphericalCoordinates.html

Kapak Görseli
Heisenberg1234 – http://heisenberg1234.deviantart.com/art/Abstract-sphere-wallpaper-374498682

Related posts

Project Euler 1: 3 ve 5’in Katları

Ögetay Kayalı

Sihirli Sayılar – Tip 2

Rasyonalist

Project Euler 8: Serideki En Büyük Çarpım

Ögetay Kayalı

1 yorum

Rasyonalist.org | Küresel Koordinatlarda Schrödinger Denklemi 25 Temmuz 2016 at 16:48

[…] Schrödinger Denklemi'ni küresel koordinatlarda çalışmak oldukça pratik olacaktır. (Bkz. Küresel koordinatlar) Çözümler sırasında bütün diferansiyel denklemlerin detaylarına girmeyeceğim, fakat […]

Yorum Bırakın