Kuantum Mekaniği: Heisenberg Belirsizlik İlkesi

1920'li yılların başında kuantum teorisi, atomu etrafında kesikli sabit yörüngelerde elektronların bulunduğu bir model ile tasvir ediyordu (bkz. Bohr Devrimi: Kuantumlu Atom Modeli). Fakat hidrojen atomu için oldukça başarılı olan bu model, daha büyük atomları ve molekülleri açıklamakta yetersiz kalıyordu.

Max Born'un asistanı olarak çalışan Werner Heisenberg, 1925'de kuantum mekaniğine yeni bir yaklaşım üzerinde çalışıyordu. Heisenberg, konum ve momentum gibi gözlenebilirleri, matrisler ile temsil ederek halihazırda birçok açıklanmamış kuantum etkisini açıklamayı başarmıştı.

Erwin Schrödinger'in dalga fonksiyonuna dayalı kuantum mekaniği kuramı, matematiksel olarak Heisenberg'in matrislere dayalı yaklaşımına denk olsa da, Heisenberg'in yaklaşımından çok önemli bir sonuç doğal olarak çıkarılabilmekteydi.

Bilindiği gibi, iki matrisin -bu matrislere A ve B diyelim- birbirleriyle çarpımının sırası değiştirildiğinde, ortaya çıkan sonuç her zaman birbirine eşit olmak zorunda değildir. Matematiksel olarak bu durumu AB≠BA olarak ifade edebiliriz. Bu eşitliğin sağlanmadığı durumlarda, A ve B matrisleri için geçişli olmayan (noncommutative, komütatif olmayan) matrisler ifadesi kullanılır.

Heisenberg'in oluşturduğu kuantum mekaniği kuramında gözlenebilirler matrislerle temsil edildiğinden, geçişli olmayan matrislerle ifade edilen bir çift değişkene, eşlenik olmayan değişkenler diyoruz. Örneğin konum-momentum çifti için belirsizlik ilkesini aşağıdaki eşitsizlikle ifade edebiliriz.

Belirsizlik ilkesi
Belirsizlik ilkesi

Yukarıdaki eşitsizlikte, ∆x bahsi geçen parçacığın konum bilgisinde belirsizliği, ∆p aynı parçacığın momentum bilgisindeki belirsizliği ifade etmekte olup, ℏ ise indirgenmiş Planck sabitidir. Eşlenik olmayan değişkenler için belirsizlik ilkesinin matematiksel çıkarımını merak edenler için J.J. Sakurai'nin Modern Kuantum Mekaniği (Modern Quantum Mechanics)2 kitabının ilk bölümüne göz atmalarını öneririm.

Aşılamaz Engel

Heisenberg belirsizlik ilkesine göre, bir parçacığın hem konumu, hem de momentumu hakkında eş zamanlı olarak kesin bilgiye sahip olmamız mümkün değildir. Konum bilgisini kesin olarak elde etmek için daha detaylı deneyler yaptıkça (bu durumu ∆x->0 olarak ifade edebiliriz), parçacığın momentumu hakkındaki bilgimizi giderek kaybederiz (∆p->∞). Günlük algımıza ters gelen bu durumu, D. J. Griffiths'in Kuantum Mekaniğine Giriş (Introduction to Quantum Mechanics)1 kitabında verdiği zekice örnekle açıklayalım.

precisely determined momentum
Tek bir dalgaboyuna sahip bir dalganın uzayda dağılımı 3

Size yukarıdaki gibi dalga gösterildiğinde, dalgaboyunun ve buna bağlı olarak momentumunun ne olduğunu, dalgaboyuna bakarak söyleyebilirsiniz. Ancak aynı dalganın “nerede” olduğunu sorduğumuzda, bu sorunun bir anlam ifade etmediğini, dalganın tüm uzaya yayıldığını söyleyeceksiniz. Bir anlamda, momentumu belirli olan dalganın konumu belirsiz olacaktır.

precisely determined momentum-2
Bir çok dalgaboyuna sahip dalganın oluşturduğu dalga paketi.3

Bir diğer durumda ise, birden fazla dalgaboyundaki dalganın süperpozisyonu ile oluşmuş bu dalga paketinin konumu, ∆x kadar bir belirsizlikle de olsa belirlenebiliyorken, süperpozisyonun doğası gereği tek bir momentuma sahip olmayacak, başka bir deyişle bu dalga paketinin momentumu belirsizleşecektir.

Belirsizlik ilkesinin yanlış anlaşılmaya yol açan yorumlarından biri, kuantum sistemlerinin özelliklerinin deneylerimizin kuantum sistemini etkilemesinden ötürü belirsiz olduğudur (kuantum mekaniğinde ölçüm sorunu). Başka bir deyişle, bu yorum, kuantum sistemleri hakkındaki bilgilerimizin belirsizliğinin, deney yöntemlerimizin hassasiyetinden kaynaklandığını öne sürer. Halbuki, Heisenberg belirsizlik ilkesi, doğanın temelinde var olan, deneylerin mükemmeliyetinden bağımsız bir özelliktir.

Elbette bilimin alamet-i farikası, deneylerle test edilebilir oluşudur. Heisenberg belirsizlik ilkesi de, konum momentum ikilisi üzerinden, Anton Zeilinger ve ekibi tarafından, 2001'de deneysel olarak test edilip doğrulanmıştır.4 Deneyde, 900 Kelvin'de hazırlanmış fulleren (C70) molekülleri, önce 10 mikrometrelik bir yarıktan geçirilip, daha sonra genişliği değiştirilebilen ikinci bir kırılım yarığından da geçirildikten sonra, lazerler ve dedektörler yardımıyla, parçacıkların momentum bilgilerindeki belirsizlik ölçülüyor ve karşımıza belirsizlik prensibiyle mükemmel uyumlu bir sonuç çıkıyor:

uncertainty

Peki belirsizlik ilkesinin etkilerini günlük hayatımızda neden göremiyoruz? Sonuç olarak bir arabanın hem pozisyonunu hem de momentumunu ölçebiliyoruz, ya da en azından öyle düşünüyoruz, değil mi? Bunun sebebi ilk eşitsizliğin sağ tarafında bulunan ℏ'ın çok küçük bir sayı, yaklaşık 10-34 joule-saniye, olmasından kaynaklanıyor. Bu noktada, George Gamow'un “Mr. Tompkins in Wonderland” kitabındaki örnekle açıklayabiliriz.

Bay Tompkins, kuantum dünyasını anlamak isteyen ama bir türlü bunu hayal edemeyen meraklı bir kişidir. Rüyasında bir profesörle tanışır ve profesör belirsizlik ilkesini daha iyi anlatabilmek için ℏ'ı 1 joule-saniye yapmayı teklif eder. Daha sonra 1 kg'lık bir bilardo topu alır ve bu topu bir üçgenin içine koymayı teklif eder. Bu öyle bir üçgen olsun ki, topun pozisyonu hakkındaki belirsizliğimiz ∆x ~ 0.33 metre olsun. Bu durumda belirsizlik ilkesi gereğince, bilardo topunun hızındaki belirsizliğin, en az 3 metre/saniye olması gerekiyor. Yani üçgenin içine hapsettiğimiz topun hiç durmadan hareket etmesi gerekiyor. Tekrar etmekte fayda var ki, her ne kadar günlük algılarımıza ters olsa da, topu durdurabilmek fiziksel olarak mümkün değil. İşte bu aşılamaz engel, aslında bir engel değil, evrenin ve doğanın muhteşem bir özelliğidir.

Ahmet Mert Bozkurt

Referanslar
1. J. J. Sakurai, J. Napolitano "Modern Quantum Mechanics", Addison-Wesley, (2011).
2. D. J. Griffiths, "Introduction to Quantum Mechanics",  Pearson Prentice Hall, (2005).
3. Kullanılan figür <https://www.electrical4u.com/heisenberg-uncertainty-principle/> sitesinden alınmıştır.
4. O. Nairz, M. Arndt, A. Zeilinger (2001), <https://arxiv.org/pdf/quant-ph/0105061.pdf>

Ahmet Mert Bozkurt

Sabancı Üniversitesi Fizik Doktora Öğrencisi. Çalışma alanı Topolojik Yalıtkanlar ve Quantum Spin Hall etkisi ile taşınım. Basketbol izlemeyi/oynamayı epeyce seviyor. Başlıca içeceği bira.

Ahmet Mert Bozkurt 3 makale yazdıAhmet Mert Bozkurt tarafından yazılan tüm makaleleri gör