Kozmoloji: Robertson-Walker Metriği

Gündelik yaşantımızda, iki nesne arasındaki uzaklığı tanımlamak oldukça kolaydır. En basitinden bir koordinat sistemi tanımlayabiliriz. Kartezyen, yani (x,y,z) koordinat sistemi üzerinde iki parçacığı yerleştirdiğimizi düşünelim. Bu iki parçacığın (x,y,z) koordinatları arasındaki uzaklık farkı (dx,dy,dz) ise, bu durumda aralarındaki mesafe ds'yi aşağıdaki şekilde ifade ederiz. (İspatı için detaylar kısmına bakın.)

\begin{equation}
ds^2=dx^2+dy^2+dz^2
\end{equation}

Bu tanımlama çok sıradan bir tanımlamadır ve kartezyen koordinatlarda çalışmak, her ne kadar basit gibi görünse de oldukça yorucudur. Bunun yerine küresel kutupsal koordinatlar üzerinden hareket etmek çok daha pratiktir. Parçacığın orijinden uzaklığı, r, y ekseni ile yaptığı açı \phi, z ekseni ile  yaptığı açı \theta olsun. Böylelikle iki parçacık arasındaki uzaklığı, bir uzunluk birimi ve iki açı cinsinden kolaylıkla ifade edilebilir. Bu durumda benzeri bir yaklaşımla, ds iki parçacık arasındaki mesafeyi aşağıdaki şekilde ifade edebiliriz.

\begin{equation}
ds^2=dr^2+r^2d\theta^2+r^2sin^2(\theta)d\phi^2
\end{equation}

Buraya kadar her şey oldukça güzel. Böylelikle herhangi bir noktadaki iki parçacık arasındaki mesafeyi rahatlıkla ölçebiliriz öyle değil mi? Aslında hayır. Çünkü tüm bunlar, düz bir uzay üzerinde geçerlidir. Fakat evren için bir geometriden bahsetmek durumundayız. Yani dümdüz gittiğinizi sanırken, aslında dümdüz gitmiyor olabilirsiniz. Tıpkı Dünya üzerinde hareket etmek gibi. Eğer yeterince ilerlerseniz, başladığınız noktaya geri dönersiniz, çünkü küresel bir geometriye sahiptir. Bu yüzden, evren için, işin içerisine geometrisini de dahil eden bazı parametreler eklemeliyiz.

Robertson-Walker Metriği

Evrenin izotropik ve homojen olduğu varsayımı altında, olası tek bir metrik söz konusudur. Elbette küçük ölçeklerde farklı konuşulabilir, fakat büyük ölçekte dikkate almamız gereken bazı şeyler var. Bu metrik, aslında küresel kutupsal koordinatların biraz değiştirilmiş halidir.

\begin{equation}
ds^2=a(t)^2\Bigg(\frac{dr^2}{1-kr^2}+r^2d\theta^2+r^2sin^2(\theta)d\phi^2\Bigg)
\end{equation}

Burada a(t) basitçe; evrenin kendi üzerine çöküp çökmeyeceğini ya da tüm evrenin genişleyip genişlemeyeceğini ifade eden, ölçek faktörüdür. k ise, evrenin geometrisini ifade eder.

Bir an için a(t)'nin sabit olduğunu düşünüp, k'nın, iki parçacık arasındaki mesafe için durumu nasıl değiştireceğini ele alalım. Çünkü a(t) zamanın bir fonksiyonudur ve aynı anlarda, değeri aynıdır. Bu yüzden, geometriyi değerlendirmek adına onu görmezden gelebiliriz.

Eğer k=0 olursa, bu durumda ilk terim dr^2 olacak ve denklemimiz a(t)^2 ifadesi hariç, küresel kutupsal koordinatlardaki formuna dönecektir. Böylesi bir durumun düz evren için yapıldığına dikkat edin. Zaten az önce de, yukarıda bahsettiğimiz formülasyonun, düz bir uzayda geçerli olacağını söylemiştik. Yani küresel kutupsal koordinatlarda yaptığımız mesafe ölçümü, herhangi bir eğriliği barındırmıyordu. Bu yüzden k=0 için, küresel kutupsal koordinatlardaki formun aynısına ulaştık. Yani k=0 için, düz bir evren söz konusudur. k<0 ve k>0 için durum biraz daha farklıdır ve bu durum, pi sayısının sabit olmamasına neden olmaktadır! Yani pi sayısı, yalnızca düz bir evrende sabit bir sayıdır.

Geometriye Göre Pi Sayının Değişimi

Tekrar a(t)^2 terimini göz ardı edelim. Bu sadece zamanın bir fonksiyonudur, dolayısıyla aynı zamanlar için aynı değeri alacağından, k'nın değişimini incelemek için bunu göz ardı edebiliriz. Bu durumda Robertson-Walker metriği, küresel kutupsal koordinatlara çok benzemektedir. Bir tek fark vardır, o da ilk terimde paydada bulunan 1-kr^2'dir. Dikkat ederseniz, denklemin açısal kısımları tamamen aynıdır!

Eğer k>0 ise, bu durumda 1-kr^2 küçük bir değer alır ve bundan dolayı ds^2 büyük bir değer alır. Yani böyle bir geometri üzerinde bir çember alırsanız, çevresi tamamen aynı olacaktır, fakat r değişecektir. Burada r büyük bir değer aldığına göre, çevrenin aynı kalması için \pi daha küçük bir değer almalıdır. Çevre aynı kalıyor, çünkü denklemin açısal kısımları değişmemekte, yalnızca uzaklık birimi (r) değişmekte.

k<0 durumunda ise, tam aksi bir durum gerçekleşir ve \pi daha büyük değerler alır. Oldukça garip bu durumun, gerçekten büyük ölçeklerde gerçekleştiğine dikkat edin.

Detaylı Çözüm

Bir çember üzerinde d\theta kadar bir birim alalım. Bu durumda r sabit olduğu için dr=0 olur, aynı zamanda \phi de sabit olacağından d\phi=0'dır. Bu durumda elimizdeki metrik,

\begin{equation}
ds^2=a(t)^2r^2d\theta^2
\end{equation}

olur. Terimlerin kareleri üzerinden bir sadeleştirme yapacak olursak,

\begin{equation}
ds=a(t)r_0d\theta
\end{equation}

eşitliğini elde ederiz. Burada r için r_0 diyelim ve bizim referans değerimiz olsun. Çemberin çevresi için c dersek, birim açı elemanının tüm çember boyunca integrallenmesi ile c değerini bulabiliriz.

\begin{equation}
c=\int_0^{2\pi}a(t)r_0d\theta
\end{equation}

Böylelikle çemberin çevresi,

\begin{equation}
c=2\pi r_0 a(t)
\end{equation}

olarak bulunur. Şimdi de aynı şeyi, yarıçap boyunca ilerleyerek birim uzaklık elemanı dr üzerinden yapalım. Çemberin çapı d, çemberin çevresi c ve \pi cinsinden d=c/\pi olarak ifade edilir. Eğer Robertson-Walker metriğine tekrar geri dönersek, birim açı elemanları sıfır olacağından, sadece ilk terim kalır. Bu durumda d,

\begin{equation}
d=2\int_0^{r_0} \frac{a(t)dr}{\sqrt(1-kr^2)}
\end{equation}

Bu integralin çözümünden k<0 için arcsinh, k>0 için arcsin'e bağlı bir ifade gelir.

Eğer k>0 ise

\begin{equation}
\pi=\pi_0\frac{r\sqrt k}{arcsin(r\sqrt k)}
\end{equation}

Eğer k<0 ise, (çözüm koşulu budur, aşağıda k için pozitif karşılıklarını kullanın.)

\begin{equation}
\pi=\pi_0\frac{r\sqrt k}{arcsinh(r\sqrt k)}
\end{equation}

Sonuç

Bu durumda \pi sayısı, yalnızca düz bir evren (k=0) için, sabit bir sayıdır. k<0 ve k>0 için, \pi, r'ye bağlı olarak aşağıdaki gibi bir değişim gösterecektir. k>0 için giderek küçülecek, k<0 için ise giderek büyüyecektir. Neden büyük ölçeklerde diyoruz, bunu da görmüş olduk. Çünkü r'nin küçük değerleri için, fark çok az olmaktadır. Bu duruma yol açan temel etmenin, metrikteki kr^2 ifadesinden geldiğine dikkat edin. k=0 olduğu durumda r'ye bağımlılık yok olur. Dolayısıyla r değişse de \pi değişmez. Fakat k'nın farklı değerlerinde r'ye bağlılık vardır ve bu bağlılık, k'nın aldığı değerlere göre aşağıdaki gibi bir grafik verir.

Detaylar

kartezyen_koordinatlar_uzaklik_kucuk

Yukarıdaki grafikte, her üç eksenin birbirine dik olduğuna dikkat edin. Bu sayede Pisagor eşitliğini kullanabildik. Açılar, bakış doğrultumuzdan ötürü 90 derece değil gibi görünse de, gerçekte bu üç doğru (x,y,z) birbirine diktir.

*Not: Anlatımda ds ifadesini iki parçacık arasındaki mesafe olarak kullandık, elbette bu fiziksel olarak daha farklı bir şeyi ima eder. ds yolunu integre ederek genellikle yoldan söz ederiz. Fakat basit bir kavram yakalama adına, bunu aradaki mesafe olarak görmekte bir sakınca yok. Bu yüzden ds=0 gibi kavramlar gördüğünüzde, bunun mesafenin sıfır olduğunu ima ettiğini düşünmeyiniz.

Bu konular hakkında biraz daha teknik detay merak ediyorsanız: Evrenin Gözlemsel Özellikleri

Ögetay Kayalı

Referanslar
1. Paul Francis & Briand Schmidt, Avusturalian National University, Cosmology Courses (EdX: ANU-ASTRO4x Astrophysics: Cosmology)
2. Peter Coles & Francesco Lucchin, Cosmology
3. <http://www.astronomy.ohio-state.edu/~dhw/A5682/notes3.pdf>
4. <http://www2.warwick.ac.uk/fac/sci/physics/current/teach/module_home/px436/notes/lecture20.pdf>

Ögetay Kayalı

Astronom. Çalışma alanı teorik kozmoloji, özellikle Einstein'ın görelilik kuramının modifiye edilmesi üzerine çalışıyor. Bunların yanında ender bulduğu zaman aralıklarında kafasına esince programlama, 3B modelleme, tasarım, fotoğrafçılık, resim ve satranç ile de ilgileniyor.

Ögetay Kayalı 118 makale yazdıÖgetay Kayalı tarafından yazılan tüm makaleleri gör