Koch Kar Tanesi: İçini Gezebileceğiniz Ama Çevresini Dolaşamayacağınız Şekil!

Sezgilerimize ne kadar güvenebiliriz? Doğadan edindiğimiz tecrübelerle çıkarımlar yapmak ne kadar sağlıklı bir şekilde çalışır? Koch kar tanesi bunun çok güzel bir örneği. Matematiksel anlamda oldukça basit ve tartışmasız bir sonucu var, fakat bir o kadar da sezgilerimize ters!

Basit bir eşkenar üçgen çizin. Sonra bunu üç parçaya bölerek ortadaki parçayı çıkarın. Ardından çıkardığınız yere, tabanıyla aynı uzunluğa sahip iki kenar daha çizerek bir üçgen daha oluşturun. Üç birim uzunluğa sahip bir kenarı, dört birim uzunluğa çıkarmış olacaksınız. Ardından bu süreci her kenar için tekrarlayarak devam edin. Tıpkı aşağıdaki gibi.

Evet bu bir fraktal olacaktır, eğer küçük üçgenlerden birine yakınlaşırsanız bir önceki sahnenin aynısını görürsünüz, çünkü siz de benzer bir üçgenle başlamıştınız.

koch snowflake process
Figür 1: Koch kar tanesinin yapılış aşaması

Burada gerçekleşen olay, üç birim uzunluğundaki bir kenarı dört birime çıkarmak, her seferinde. Dolayısıyla çevre her seferinde 4/3 kat artıyor. Bu da, bu işlemi sonsuza kadar tekrarladığınızda, çevrenin sonsuza kadar artacağı, ıraksayacağı anlamını taşıyor. Bir de bu şeklin alanını inceleyelim.

Eşkenar bir üçgenin alanını hesaplamak oldukça kolaydır, eğer bir kenarının uzunluğu a birim ise, alanı (a2√3)/4'tür. İlk işlemde bu alana ek olarak üç eşkenar üçgen daha oluşur. Bu üçgenin kenarının biri a/3 birim uzunluğa sahiptir. İşlemde karesi alınarak gittiğinden, bir süre sonra yeni oluşup toplam alana eklenen üçgenlerin katkısı kaybolur. Detaylı bir hesap yapıldığında Koch kar tanesinin alanı (2√3)a2/5 olarak bulunur. Yani başlangıçtaki üçgenin alanının 8/5 katı kadar bir alana sahiptir. Zaten şeklin ilerleyiş biçiminden, kar tanesinin belirli bir alan içerisine hapsolduğunu anlayabilirsiniz.

Öyleyse bu şeklin alanı sonlu, fakat çevresi sonsuzdur! Yani şeklin içini dolaşabilir, ama çevresini dolaşamazsınız! Ama bu nasıl olur? İçini dolaşırken kenarları da dolaşmış olmuyor muyuz? Demek ki sezgilerimizle örtüşmeyen bir durum söz konusu. Matematik oldukça basit olmasına rağmen, bu durumu anlamakta zorlanıyoruz. Bu da bizim, olası bilimsel çıkarımlarda dikkatli olmamız konusunda bize sağlam bir uyarıda bulunuyor. Bu yüzden bilimi, matematik gibi araçlar kullanarak geliştirmeye çalışıyoruz.

Eğer bunu anlamakta zorlanıyorsanız şöyle düşünün. Bir tane kare alın, bunun alanı bellidir, ölçebilirsiniz. Kenar uzunluğunu da hesaplayabilirsiniz. Şimdi bunu tam ortadan ikiye bölün (yatay bir biçimde), sonra kestiğiniz parçayı yanına ekleyerek bir dikdörtgen elde edin. Alanınız değişmedi, çünkü yeni bir şekil eklemediniz. Fakat şeklinizin taban kenarının uzunluğu ikiye katlandı. Aynı işlemi tekrar yapın, taban uzunluğu tekrar ikiye katlanacak fakat alan hiç değişmeyecek. Bu işlemi sonsuz kez tekrarladığınızda, artık bir kareden bir doğru gibi incecik bir çizgi elde etmeye doğru ilerliyor olacaksınız. Uzunluğu sonsuz olacak, fakat alanı sonlu...

Ögetay Kayalı

Referanslar
1. Durhan S., Nesin Matematik Köyü, Diziler ve Seriler
2. <http://mathworld.wolfram.com/KochSnowflake.html>
3. <http://ecademy.agnesscott.edu/~lriddle/ifs/ksnow/ksnow.htm>

Ögetay Kayalı

Astronom. Özel ilgi alanı teorik kozmoloji, özellikle Einstein'ın görelilik kuramının modifiye edilmesi (modified gravity) üzerine uğraşıyor. Bunların yanında ender bulduğu zaman aralıklarında kafasına esince programlama, 3B modelleme, makineler, tasarım, fotoğrafçılık, resim ve satranç ile de ilgileniyor.

Ögetay Kayalı 120 makale yazdıÖgetay Kayalı tarafından yazılan tüm makaleleri gör