Kalkülüs: Ortalama Değer Teoremi

Ortalama değer teoremi matematiksel olarak; bir eğri üzerinde alınan bir aralıkta, fonksiyonun uç noktalarını birleştiren doğruya (sekant doğrusuna, kirişe) paralel, fonksiyonun en az bir teğet doğrusu (tanjant doğrusu) olduğunu ima eder. Bu teorem, özellikle nümerik analiz gibi alanlarda, uygulanan metodun çalışması için gerekli koşulları belirtmede sıklıkla kullanılır.

Gündelik bir örnekle ortalama değer teoremini açıklamak daha kolaydır. Bir araçta olduğunuzu ve uzun bir yolculuğa çıktığınızı düşünün. Yolculuk boyunca aracınız hızlanacak ve yavaşlayacaktır. Dolayısıyla zaman içerisinde farklı hız değerlerinde olacaksınız. Fakat bir saatin sonunda eğer 50 kilometre yol aldıysanız, ortalama değer teoremi bize, yolculuk sırasında en az bir kere saatte 50 kilometre hıza ulaşmış olduğunuzu söyler.

Figür 1.
Figür 1. Ortalama değer teoreminin şematik gösterimi.

Figür 1, yukarıda verdiğimiz matematiksel ifadeyi bize görsel olarak açıklar. aralığında bulunan bir eğri için ortalama türev, fonksiyonun uç noktalarını birleştiren doğrudur. Yani ve arasında çizdiğimiz doğru, ortalama bir değişimi ifade eder. Teoremin bize dediği şey ise, bu eğrinin en az bir teğet doğrusunun (tanjantının), bu doğruya paralel olması gerektiğidir.

Burada matematiksel bir güzellik olarak, teğet olan bu noktanın yatay eksendeki değeri 'nin aralığına düşmesi gerektiğini görürüz. Bu da, kullanacağımız teoremlerde belirlediğimiz bir aralık içerisinde istenen bir değerin, bu aralıkta kalmasını sağlayan koşulu bize sunmuş olur.


Matematiksel İfadesi

Eğer fonksiyonu kapalı aralığında sürekli ve olduğu açık aralığında diferansiyellenebilir bir fonksiyonsa, açık aralığında aşağıdaki koşulu sağlayan bir değeri bulunur. ( ve )

\begin{equation}
\nonumber
f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}
\end{equation}

Burada eşitliğin sağındaki ifade, bizim sekant doğrumuzu ifade eder (doğrunun eğimini). ifadesi dikey eksendeki değişim olan 'dir. ifadesi ise yatay eksendeki değişim olan 'dir. Böylelikle, fonksiyonun uç noktalarını birleştiren doğru denklemini yazmış oluruz.

Teoremin bize söylediği şey, bu doğruya paralel, bu aralıkta tanımlı en az bir tane teğet (tanjant) doğrusu olması gerektiğidir. Bir fonksiyonun o noktasındaki teğet doğrusunun eğimi, o noktasındaki türevi olarak tanımlandığına göre, aralığında bulunan bu noktası için, üstteki eşitlik sağlanır ( değeri noktasındaki teğetin eğimini verir).


Detaylar

Ortalama değer teoremi, verilen aralıkta, kiriş doğrusuna paralel en az bir tane teğet doğrusu olması gerektiğini söyler, fakat bunun kaç tane olduğu ile ilgili bir şey ifade etmez. Eğer eğrimiz, kiriş doğrusunun kendisi ise, bu durumda kiriş üzerindeki her nokta istenilen özelliğe sahiptir. Aynı zamanda ortalama değer teoremi, varlığını ima ettiği c noktasının nasıl bulunduğu hakkında da bir bilgi vermez. Basit fonksiyonlarda c kolaylıkla hesaplanabilir görünüyor, fakat pratik değildir.

Bu yüzden ortalama değer teoremi, tek başına pek fazla anlam ifade etmez. Fakat kullanacağınız teoremde, gerekli koşulların betimlenmesi için harika bir araç sunar. Bu yüzden min-max teoremi (extreme value theorem) ve ara değer teoremi (intermediate value theorem) gibi varlık teoremleri sınıfının bir üyesidir.


Ögetay Kayalı

Referanslar
1. Turgut Öziş, Ege Üniversitesi Matematik Bölümü, Nümerik Analiz ders notları
2. Robert A. Adams and Christopher Essex, Calculus, p. 136-138
3. http://mathworld.wolfram.com/Mean-ValueTheorem.html

Görsel
Figür 1. https://en.wikipedia.org/wiki/Mean_value_theorem#/media/File:Mvt2.svg

Ögetay Kayalı

Astronom. Özel ilgi alanı teorik kozmoloji, özellikle Einstein'ın görelilik kuramının modifiye edilmesi (modified gravity) üzerine uğraşıyor. Bunların yanında ender bulduğu zaman aralıklarında kafasına esince programlama, 3B modelleme, makineler, tasarım, fotoğrafçılık, resim ve satranç ile de ilgileniyor.

Ögetay Kayalı 120 makale yazdıÖgetay Kayalı tarafından yazılan tüm makaleleri gör