Gök Cisimleri Neden Eliptik Yörüngelerde Dolanırlar?

Gezegenler gibi diğer bütün gök cisimleri, kusursuz olarak gördüğümüz çember yerine, eliptik yörüngelerde dolanmaktadır. Hiçbir ama hiçbir gök cismini, ne çift yıldızları ne de gezegenleri, diğer bir gök cisminin etrafında çembersel bir yörüngede dolanırken göremezsiniz. Çember olmaya çok yakın bir elips olabilir, fakat asla bir çember olmaz.

Yörüngelerin eliptik olması gerektiğini Kepler Yasaları sayesinde biliyoruz. Fakat bu yasalar yörüngenin nasıl olduğunu söylüyor, neden böyle olduğunu değil. Dolayısıyla neden çember yörüngelerle karşılaşmadığımızı anlamak için bu yasaların kökenini incelememiz gerekiyor. Daha basit bir yaklaşımda bulunarak örnekler üzerinden de gidebiliriz.

Bazı kuyruklu yıldızların yörüngesi açıktır. Bir başka deyişle Güneş'in yanından bir kez geçip bir daha dönmemek üzere giderler. Bir dolanma hareketi yapmazlar. Gezegenlerin hareketini ise kapalı yörüngelerle tanımlarız, çünkü belirli bir dolanma hareketi yaparlar. Sınır da tam olarak burada başlar. Geometrik olarak bu iki yörüngeyi tanımlamak için basıklık (e) adını verdiğimiz bir parametre tanımlarız.

Basıklığı somut olarak düşünmek isterseniz, bir çemberi alıp iki yandan sıkıştırarak elips yaptığınızı düşünebilirsiniz.
Basıklığı somut olarak düşünmek isterseniz, bir çemberi alıp iki yandan sıkıştırarak elips yaptığınızı düşünebilirsiniz.

Eğer e=0 ise bu bir çemberi, eğer 0<e<1 ise bu bir elipsi, eğer e=1 ise bu bir parabolü, eğer e>1 ise bu bir hiperbolü temsil eder. İddiamız açıkça e\neq0 şeklinde. İlk aklımıza gelen düşünce, e değerini belirleyen denklemde sıfırın bir şeyleri karıştırıp tanımsız yaptığı ya da daha doğrusu fiziken anlamsız kıldığı bir nokta olabileceğidir. Bu yüzden denklemi incelemekte fayda var.

\begin{equation}
e=\sqrt{1+\frac{2EL^2}{m\alpha^2}}
\end{equation}

Burada e bildiğimiz basıklık değeri, E toplam yörünge enerjisi, L açısal momentum, m kütle, \alpha da ters kare yasasından gelen katsayıdır. \alpha ve L kompleks sayı olmadıklarından dolayı e=0 değerinin E parametresine bağlı olduğunu görürüz. E=E_k+E_p olduğundan, yani toplam yörünge enerjisi; kinetik enerji ve potansiyel enerjinin toplamı olduğundan negatif bir değer alabilir. Örneğin ISS (Uluslararası Uzay İstasyonu) için hesap yaparsak E_p\approx-62 MJ/kg olarak, E_k\approx31 MJ/kg buluruz. Bu da E\approx-31 MJ/kg olduğunu bize söyler. Yani basit bir yaklaşımla yörünge basıklığını belirleyen denkleme baktığımızda herhangi matematiksel bir problem yok gibi görünmektedir. Öyleyse çok daha derinlere inmeden fiziksel yorumlara bir göz atmakta fayda var. (Burada E'nin öyle bir değeri için e=0 sağlanmayacağını iddia edebilirsiniz. Bunun yorumunu da size bırakıyorum.)

"Çembersel bir yörüngemiz olsaydı, içinde bulunduğumuz durum ne olurdu?" sorusuyla başlayalım. Çembersel yörünge demek, herhangi bir en yakın ya da en uzak nokta olmadığı anlamına gelir. Yani r_{enberi}=r_{enote}'dir. Yine Kepler Yasaları'ndan eşit zaman aralıklarında, eşit alanların taranmasından biliyoruz ki; gök cismi etrafında dolandığı noktaya yakınlaştıkça hızı artar, uzaklaştıkça azalır. Çembersel yörüngede herhangi bir yakınlaşma-uzaklaşma hareketi olmayacağı için hızın da sabit olması gerektiği sonucuna varırız. Buna bağlı olarak açısal hız, potansiyel enerji ve kinetik enerji de sabit olacaktır.

Cismin yörüngesinin çembersellikten sapmasına sebep olan esas faktör, yörünge hız vektörüne dik olan enine ivmedir. Çembersel bir yörüngede enine ivmenin büyüklüğü sabittir ve hız vektörünün yönü değiştikçe buna dik olarak kendisi de değişir. Bu yüzden yörünge daima çembersel olarak kalır. Merkezcil ivmeden biliyoruz ki, F_m=mV^2/r'dir. Newton'dan da bildiğimiz F=ma'yı uygularsak, bu ivme için a=V^2/r eşitliğini elde ederiz. V (hız) sabit olduğuna, r de (yarıçap) sabit olduğuna göre; a ivmenin de sabit olacağı açıktır. Beklentimiz de bu yöndeydi.

Çembersel yörüngenin tüm bu sabitliğinin merkezcil kuvvet olan F_m=mV^2/r ile kütle çekimsel kuvvet olan F_g=GMm/r^2'den geldiğine dikkat edelim. İki kuvveti birbirine eşitlersek:
\begin{equation}
F_g=F_m\end{equation}

\begin{equation}
\frac{GMm}{r^2}=\frac{mV^2}{r}\end{equation}

\begin{equation}
V=\sqrt{\frac{GM}{r}}\end{equation}

olduğunu buluruz. Bu bize hızın sabit olması gerektiğini bir kere daha gösterir. Çünkü kütle çekim sabiti olan G zaten bir sabittir, kütlemiz olan m yine bir sabittir, çembersel olması gerektiğinden r de yine bir sabittir.

Yaptığımız tüm bu gözden geçirmeler, çembersel yörüngenin gerçekleşmesi için gereken koşulları bize söyler. Öyleyse şimdi neler değişirse yörüngenin çembersel olamayacağını açıkça görebiliriz. En çok göze batan parametre hız olduğu için, hızdaki değişimlerin nelere sebep olacağını göz önüne alırsak, sorunun cevabına ulaşabiliriz gibi görünüyor.

Hızın değişmesi, kinetik enerjinin değişmesi demek (hız değişimi bir artış da olabilir bir azalış da). Bu durum yörüngenin toplam enerjisini de değiştirecektir. Yörüngenin toplam enerjisinin doğrudan basıklık değeriyle ilgili olduğunu (1) numaralı denklemde göstermiştik. Bu sebeple hızda gerçekleşecek en ufak bir değişiklik doğrudan e değerini etkileyecek ve yörüngenin çembersellikten çıkmasına, eliptik olmasına sebep olacaktır. Bunu (4) numaralı denklemde de test edebilirsiniz. G ve M değerleri sabit olduğundan V'nin değişmesi doğrudan r'nin değişmesini gerektirir. (Bu denklemin çembersel yörünge kabulünden geldiğini unutmayın, normalde daha farklı bir hal alacaktır)

Peki hızın değişimine ne sebep olabilir? Öncelikle şuna değinmek istiyorum. Çembersel yörünge bir kabuldür. İşlerin basitçe yapılabilmesi, denklemlerin kolayca çözülebilmesi için yaptığımız birçok varsayım sonucunda ortaya çıkar. Gerçekler ise böyle değildir. Sistem başlı başına karmaşıklığı ve çeşitliliği içerisinde barındırır. Dolayısıyla çok farklı etkileşimler gerçekleşir. Bu etkileşimler döngüsel olabileceği gibi, yerel olarak incelendiğinde bir rastgelelik de barındırabilir.

Hepimizin bildiği Güneş Sistemi üzerinden düşünelim. Birçok gezegen var ve bunların hepsi farklı kütle ve boyutlarda. Uzaklıkları ve Güneş etrafındaki dolanma periyotları da farklı. Dolayısıyla bize bazen yakın, bazen de uzak oluyorlar. Dışarıdan zaman zaman hiç umulmadık bir şekilde gelip çarpan kuyruklu yıldız gibi faktörler de var. Bunun yanında hiçbir gök cismi tam olarak küresel değil. Hatta Güneş, katı bir cisim değil ve çalkantılara sahip. Dolayısıyla sistemin içerisindeki bütün gök cisimleri sürekli değişen ek kuvvetlerin etkisi altında. Yakınlaşmalar, çarpışmalar buna doğrudan etki ederken; Güneş'in katı bir cisim olmayışı, gezegenlerin tam küresel olmayışı da çekimsel değişimlere, zamana bağlı olarak sebep olur. Bu sebeple gök cisimlerindeki bu kusursuz olmayan çeşitlilik, yine kendi içerisinde çeşitliliğin doğmasına sebep olur. Kusursuz gördüğümüz çembersel sistem ise tekdüze ve aslında ahenk taşımayacak kadar basittir.

Eccentricity_rocky_planets
Gezegenlerin basıklık değerinin zamana göre nasıl değiştiğini gösteren grafik. Gravity simulator kullanılarak elde edilmiştir. (http://www.orbitsimulator.com/gravity/articles/what.html)

Yukarıdaki grafikten de görüldüğü üzere gezegenlerin basıklık değeri bizim için uzun yıllar olsa da farklı şekillerde değişimler göstermektedir. Dünya için şu anda basıklık değeri e=0.0167 olsa da bu değer 0.0034 ile 0.058 arasında değişmektedir.

Bu değerin çembersel olmaya ne kadar yakın olduğunu görüyoruz. Aslında bir büyük tehlike de burada başlıyor. Eğer yörünge çembersel olursa, hız değişiminin negatif olması durumunda olacakları bir düşünelim. Merkezcil kuvvet etkisi V^2 ile doğru orantılı olduğundan, merkezcil kuvvet azalacak; zaten kütle çekimsel kuvvetle eşit olan bu kuvvet, bir de üstüne azalma gösterdiği için kütle çekim baskın hale gelecektir. Bu da gök cisminin, etrafında dolandığı diğer gök cismi üzerine düşmeye başlaması demek. Basit bir örnekleme ile: Dünya eğer çembersel bir yörüngeye sahip olsaydı ve bir başka gezegenin ona yakınlaşması sonucu hızı yavaşlasaydı ya da gidiş yönünün aksi yönde çarpan büyük kütleli bir kuyruklu yıldız Dünya'nın hızını yavaşlatsaydı; Dünya yavaş yavaş Güneş'in üzerine düşmeye başlayacaktı. Bu da neden çembersel yörüngeye sahip gök cisimleri görmediğimizi bir kez daha ortaya koyar. Çünkü eninde sonunda bir etkileşime girecek bu gök cismi, etkileşimin sonucunda yok olacaktır.

Katkılarından ötürü Ege Üniversitesi Astronomi ve Uzay Bilimleri Bölümünden Can Kılınç hocamıza teşekkür ederiz.

Ögetay Kayalı

Kaynaklar
1. Gök Mekaniği ders notları - Can Kılınç - Ege Üniversitesi Astronomi ve Uzay Bilimleri 
2. Celestial Mechanics – S.W. McCuskey
3. http://www.museum.state.il.us/exhibits/ice_ages/eccentricity_graph.html

Ögetay Kayalı

Astronom. Çalışma alanı teorik kozmoloji, özellikle Einstein'ın görelilik kuramının modifiye edilmesi üzerine çalışıyor. Bunların yanında ender bulduğu zaman aralıklarında kafasına esince programlama, 3B modelleme, tasarım, fotoğrafçılık, resim ve satranç ile de ilgileniyor.

Ögetay Kayalı 118 makale yazdıÖgetay Kayalı tarafından yazılan tüm makaleleri gör