Bohr Devrimi: Kuantumlu Atom Modeli

20. yüzyıl, fizik biliminin temel taşlarının sorgulanması açısından çok dolu bir yüzyıldı. Klasik fizik, atom tayflarını açıklamada da bilim insanlarını yüzüstü bırakmıştı. Bir elementin tayf çizgileri neden hep aynı oluyordu? Atomlar neden yalnızca ışıma yaptıkları dalga boylarını soğurabiliyorlardı? Uzun lafın kısası, dönemin bilim insanlarının kafasında gerçekten "deli" sorular vardı. Yaptıkları deneylerin sonuçlarını bir türlü matematiksel olarak açıklayamıyorlardı.

1913'te Danimarkalı bir beyefendi olan Niels Bohr, herhangi bir varsayım yapmadan, tamamen daha önceden bildiğimiz temel ilkeleri kullanarak, atom tayfına bir açıklama getirdi. Newton mekaniğinden, Planck'ın kuantum teorisinden, Einstein'in foton kuramından ve daha önceki atom modelleri için adeta birleştirici bir görev gören Bohr atom modeli, klasik fiziğin açıklayamayacağı önermeler içerdiği için, modern fizik adına devrim niteliği taşır.

bohr-1
Şekil 1

Atom yapısının nasıl olması gerektiğini hidrojen atomu kullanarak açıklayan Bohr'un temel fikirleri şunlardır:

1. Elektron, proton çevresinde, çekici Coulomb kuvveti etkisinde dairesel yörüngede hareket eder.

2. Klasik fiziğe göre, merkezcil ivme ile hareket eden elektron, sürekli olarak ışıma yapmalıdır. Bu ışıma sebebiyle sürekli enerji kaybedip, spiral çizerek sonunda çekirdeğin içine düşmelidir. 

Bohr atom modeline göre ise, sadece belirli elektron yörüngeleri kararlıdır. Bu kararlı yörüngelerde bulunan elektron, ışıma şeklinde enerji yaymaz. Bu sayede atomun toplam enerjisi sabit kalır ve klasik mekanik, elektronun hareketini incelemede kullanılabilir.

3. Elektron, yüksek enerjili bir yörüngeden daha az enerjili bir yörüngeye inerken, ışıma yapar. Bu değişimde yayınlanan fotonun frekansı, iki yörünge arasındaki enerji farkına bağlıdır. Yayınlanan fotonun frekansı için aşağıdaki enerji korunum bağıntısı kullanılır.

\begin{equation}
E_{ilk} – E_{son}= \text{hf}
\end{equation}

Burada yüksek enerjili yörüngenin enerjisi, ise düşük enerjili yörüngenin enerjisidir.

Şekil 2
Şekil 2:

4. Elektronun yörüngesinin büyüklüğü, elektronun yörüngesel açısal momentumunun () tam katlarına eşittir.

\begin{equation}
\text{m}_{e}\text{vr}=\text{n}\hbar \hspace{30pt} \text{n}=1, 2, 3, 4...
\end{equation}

Yukarıdaki, Bohr atom modeline ait 4 temel fikir ışığında, hidrojen atomunun “izinli” enerji seviyelerini ve elektronun yaptığı ışımaların dalga boyunu hesaplayabiliriz.

Niels Bohr'un, bahsettimiz 4 madde başlığı altındaki fikirleri, yalnızca birer önerme boyutundaydı. Asıl zor kısmı, bu önermeleri matematiksel olarak ispatlamaktı. 1922'de aldığı Nobel'den de anlayabileceğimiz gibi, Niels Bohr bunu da başarmıştı. Şimdi, emniyet kemerlerinizi taktıysanız; biraz matematik ve bolca fizik içeren ve Nobel ödülüne giden yola çıkmaya hazırız demektir.

Viraj 1: Atomun Toplam Enerjisi

Şekil 1'de görülen sistemin elektrik potansiyel enerjisi için, kökeni 1785'lere dayanan Coulomb yasasını kullanmamız yetecektir. Coulomb yasası aşağıdaki gibidir.

\begin{equation}
\text{U} = \frac{-k_{e} q_{1} q_{2}}{r}
\end{equation}

Burada coulomb sabitidir. Denklemdeki eksi (-) işareti ise elektron yükü olan -e'den gelmektedir.

Atomun sahip olduğu potansiyel enerji ile, klasik mekanik yasalarından bildiğimiz kinetik enerji bağıntısını ()  basit bir toplama işlemi ile birleştirirsek,  aşağıdaki toplam enerji bağıntısına ulaşırız.

\begin{equation}
E_{toplam}=E_{kinetik} + U (E_{potansiyel})= \frac{1}{2} m_{e} v^2 - \frac{k_{e} q_{1} q_{2}}{r}
\end{equation}

Newton'un 2. yasasını uygulayarak, Coulomb kuvvetini, elektronun sahip olduğu merkezcil kuvvete () eşitleyelim.

\begin{equation}
\frac{k_{e} e^2}{r^2 } = \frac{m_{e} v^2}{r}
\end{equation}

Hemen şimdi de, sağ tarafı kinetik enerjiye benzetmek için, her iki tarafı ile çarpalım.

\begin{equation}
\frac{k_{e} e^2}{2r } = \frac{m_{e} v^2}{2}= E_{kinetik}
\end{equation}

Bulduğumuz bu değerini nolu denklemde yerine yazarsak, atomun toplam enerjisini Coulomb sabiti cinsinden aşağıdaki gibi buluruz.

\begin{equation}
E_{toplam} = -\frac{k_{e} e^2}{2r}
\end{equation}

Bazı okuyucular belki bu paragrafı okumaya başlamadan "Toplam enerji nasıl eksi değerli olabilir?" diye kendilerine sormuşlardır. Gerçekten de yerinde bir soru. Zaten, Bohr atom modelinin en önemli buluşlarından biri de bu. Atomlardan elektron kopartmak için onlara enerji vermemiz gerektiğini biliyorduk. Ancak bunu Niels Bohr'a kadar matematiksel olarak açıklayamıyorduk.

Sonuç olarak: Bohr atom modeli bize göstermiştir ki, elektron-proton sistemi bağlı bir durum oluşturur ve bu bağı kopartmak için atoma kadar enerji vermemiz gerekir.

Viraj 2: Bohr Yarıçapı

ve nolu eşitlikleri için çözersek ve birbirine eşitlersek, için bir bağıntıya ulaşırız.

\begin{equation}
v^2 = \frac{n^2 \hbar^2}{m_e^2 r^2} = \frac{k_e e^2}{m_e r}
\end{equation}

\begin{equation}
r_n = \frac{n^2 \hbar^2}{m_e^2 k_e e^2}      n=1, 2, 3, 4,...
\end{equation}

Elektronun sahip olduğu açısal momentumun 'ın tam katlarına eşit olması gerektiğini ifade eden , elektronun aynı zamanda tamsayısı ile tayin edilen, izinli yörüngelerde (kuantumlaşmış) dolanabileceğini varsayımını matematiksel olarak gösterir.

Referans olarak alınan en küçük yarıçaplı yörünge, Bohr yarıçapı adını alır ve değeri aşağıdaki gibidir.

\begin{equation}
r_n = \frac{\hbar^2}{m_e^2 k_e e^2}  = 0.0529 nm
\end{equation}

Bohr kuramının dikkat çekici zaferi, bu açıklamaları yaparken yeni bir varsayımda bulunmaması, önceki verileri kullanmasıdır.

Viraj 3: Enerjinin Kuantumlanması

lesson20
Şekil 3:

Yörünge yarıçaplarının kuantumlu olması, enerjinin de kuantumlu olduğunu gösterir. Bunu, Bohr yarıçapını gösteren 9 numaralı eşitlik ile atomun toplam enerjisini ifade eden 7 numaralı eşitliği birleştirerek görebiliriz.

\begin{equation}
E_n = - \frac{k_e e^2}{2a_0} \bigg(\frac{1}{n^2}\bigg)
\end{equation}

Buradaki sayısı yine tamsayı olacağından, enerjinin kuantumlu olduğunu ispatlar. Sayısal değerleri yerine yazarsak aşağıdaki ifadeyi elde ederiz.

\begin{equation}
E_n = - \frac{13,606}{n} eV
\end{equation}

Taban durumu adı verilen en küçük enerji düzeyinde =1'dir. Bu enerji düzeyinin enerjisi () de -13,606 eV'dir. Bu değer, =2'de -3,401'dir ve verilen tamsayı değerin karesiyle doğru orantılı olarak artar. (Bkz: Şekil 3)

değerinin sonsuza gitmesi durumunda ise,  sıfıra eşit olur ve bu da elektronun atomdan koparıldığı (iyonize edildiği) anlamına gelir. Atomu iyonlaştırmak için gerekli en küçük enerji de iyonizasyon enerjisi adını alır. Bohr atom teorisine göre; hidrojenin iyonizasyon enerjisi 13,6 eV'dir. Bohr'dan önce, bilim insanları, hidrojenin 13.6 eV enerji vererek iyonize edildiğini biliyordu. Bohr'un atom teorisinin bu bilgiyi matematiksel olarak ispatlaması, Bohr'un teorisinin çarpıcı başarılarından bir diğeridir.

Son viraj: Tek Elektronlu Elementler

Bohr, hidrojen üzerinden yaptığı çalışmaları , gibi tek elektronlu iyonize elementleri açıklayacak şekilde düzenledi ve modeli ile, Güneş ve benzeri yıldızların tayflarında gözlemlenen gizemli çizgilerin, hidrojene değil, iyonlaşmış helyuma ait olduğunu öngördü.

, elementin atom numarası olmak üzere, çekirdek çevresinde dönen tek bir elektron için Bohr kuramı aşağıdaki gibidir:

\begin{equation}
r_n= (n^2)\frac{a_0}{Z}
\end{equation}

\begin{equation}
E_n= - \frac{k_e e^2}{2a_0}\bigg (\frac{Z^2}{n^2}  \bigg )
\end{equation}

Niels Bohr'un, 1913 yılında, atomaltı dünyanın gizem perdesini biraz olsun aralamamıza yol açan, ve onu Nobel'e ulaştıran çalışmasını incelediğimiz, "Bilgi okyanusunun kıyısındaki oyunumuzun" sonuna geldik.

Ege Can Karanfil

1. Serway ve Beichner, Fizik 3 (Modern Fizik) 5. Baskı, Syf. 1305
2. http://www.nobelprize.org/nobel_prizes/physics/laureates/1922/
3. http://abyss.uoregon.edu/~js/glossary/bohr_atom.html

Ege Can Karanfil

Ortadoğu Teknik Üniversitesi Fizik Bölümü öğrencisi. İlgi duyduğu diğer alanlar: Evrimsel biyoloji ve Matematik. Boş vakitlerinde amatör müzik ile ilgileniyor.

Ege Can Karanfil 23 makale yazdıEge Can Karanfil tarafından yazılan tüm makaleleri gör