Sayısal Analiz: İkiye Bölme (Bisection) Metodu
İkiye bölme metodu, tam olarak adının da anlattığı işlemi uygular. Bir f(x) fonksiyonu alınsın. Bu fonksiyon [a,b] kapalı aralığında sürekli ve a ile b sayıları reel sayılar kümesinin birer elemanı olsun. Eğer bu aralıkta f(a).f(b)<0 oluyorsa, Bolzano teoreminin bize söylediği üzere bu aralıkta bu fonksiyonun en az bir kökü bulunur. Kökün bulunduğunu garantiledikten sonra tek yapılması gereken, f(a).f(b)<0 koşulunu, aralığı ikiye bölmeye devam ederek sağlamaktır.
Örneğin, f(x)=x2-2 fonksiyonu için [1,2] kapalı aralığında kökü arayalım. f(1) negatif, f(2) pozitif bir değere sahiptir. Fonksiyon bu aralıkta işaret değiştirdiğine ve sürekli olduğuna göre, bu aralıkta bir yerde en az bir kök değerim bulunur. İkiye bölme işlemi uygulanır ve 1 ile 2 noktalarının tam orta noktası olan 1.5 değeri incelenir. f(1.5) değeri pozitif bir değerdir. Yani eski durumumda f(1).f(2)<0 idi, şimdi ben bunun aslında f(1).f(1.5)<0 olduğunu biliyorum. Bu durumda köküm 1.5 ile 2 arasında değildir ve bu aralığı incelememe gerek yoktur.
Bundan sonra 1 ile 1.5 noktalarının tam orta noktası olan 1.25 değeri için işareti inceliyorum. f(1.25) değeri negatif bir değer çıkıyor. f(1.5) değeri de pozitifti. Öyleyse f(1.25).f(1.5)<0 olduğuna göre kök, 1.25 ile 1.5 değeri arasında bir yerdedir. İşlem bu şekilde sürüp gidiyor ve her adımda köke daha çok yaklaşıyorsunuz. Oldukça basit ve kaba bir metot, fakat pratikte gayet güzel çalışıyor ve nümerik analizin mantığı anlamakta müthiş bir örnek.
Avantajları ve Dezavantajları
İkiye bölme (bisection) metodunun avantajları, daima yakınsaması ve hatanın kontrol edilebilmesidir. Hatası daima (b-a)/2(n+1) değerinden küçüktür. Burada b ve a sınır koşulları, n ise yapılan işlemin tekrar sayısıdır. Dolayısıyla belirli bir aralıkta, n kadar tekrar sonra yaptığınız işlemin ne kadar hassaslıkla doğru sonuç verdiğini bilebilirsiniz. Bu çok önemlidir, çünkü gerçek değeri bilmiyorsunuz ve bir takım işlemler uyguluyorsunuz, sonucunda gerçek değere ne kadar yakınsınız? Bu kritik soruya, ikiye bölme metodu cevap verebiliyor, bu önemli bir özellik.Dezavantajlarından biri, yakınsama hızının yavaş olması. Çok kaba denmesinin sebebi budur. İlk akla gelen şey, orta noktayı alıp, buradan çıkarım yapmaktır. Oysaki daha akıllıca metotlarda çok daha hızlı yakınsama yapılabilir. Bir diğer dezavantajı x2 gibi fonksiyonlarda, fonksiyon işaret değiştirmediğinden kökü bulamamasıdır. Bir diğer yandan, 1/x gibi fonksiyonlardaki tekillik (singülerlik), ikiye bölme metodu için yanıltıcı olabilir. Fonksiyon bir değerde negatif, bir değerde pozitif olmasına rağmen, bu ikisinin arasında sonsuza gitmektedir.
İkiye Bölme Metodunun Anlatımı
https://www.youtube.com/watch?v=2IHsSP5Yw9oİkiye Bölme Metodu Örnek Soru Çözümü
https://www.youtube.com/watch?v=cHIHhERUBQkHazırlayan:Ögetay Kayalı
Referanslar
1. Turgut Öziş, Ege Üniversitesi Matematik Bölümü, Nümerik Analiz ders notları
2. <https://mat.iitm.ac.in/home/sryedida/public_html/caimna/transcendental/bracketing%20methods/bisection/bisection.html>
3. <http://www.mathcs.emory.edu/~cheung/Courses/170/Syllabus/07/bisection.html>
İçeriklerimizin bilimsel gerçekleri doğru bir şekilde yansıtması için en üst düzey çabayı gösteriyoruz. Gözünüze doğru gelmeyen bir şey varsa, mümkünse güvenilir kaynaklarınızla birlikte bize ulaşın!
Bu içeriğimizle ilgili bir sorunuz mu var? Buraya tıklayarak sorabilirsiniz.
Soru & Cevap Platformuna Git- 0
- 0
- 0
- 0
- 0
- 0
- 0
- 0
- 0
- 0
- 0
- 0
Evrim Ağacı'na her ay sadece 1 kahve ısmarlayarak destek olmak ister misiniz?
Şu iki siteden birini kullanarak şimdi destek olabilirsiniz:
kreosus.com/evrimagaci | patreon.com/evrimagaci
Çıktı Bilgisi: Bu sayfa, Evrim Ağacı yazdırma aracı kullanılarak 04/05/2024 18:14:08 tarihinde oluşturulmuştur. Evrim Ağacı'ndaki içeriklerin tamamı, birden fazla editör tarafından, durmaksızın elden geçirilmekte, güncellenmekte ve geliştirilmektedir. Dolayısıyla bu çıktının alındığı tarihten sonra yapılan güncellemeleri görmek ve bu içeriğin en güncel halini okumak için lütfen şu adrese gidiniz: https://evrimagaci.org/s/12813
İçerik Kullanım İzinleri: Evrim Ağacı'ndaki yazılı içerikler orijinallerine hiçbir şekilde dokunulmadığı müddetçe izin alınmaksızın paylaşılabilir, kopyalanabilir, yapıştırılabilir, çoğaltılabilir, basılabilir, dağıtılabilir, yayılabilir, alıntılanabilir. Ancak bu içeriklerin hiçbiri izin alınmaksızın değiştirilemez ve değiştirilmiş halleri Evrim Ağacı'na aitmiş gibi sunulamaz. Benzer şekilde, içeriklerin hiçbiri, söz konusu içeriğin açıkça belirtilmiş yazarlarından ve Evrim Ağacı'ndan başkasına aitmiş gibi sunulamaz. Bu sayfa izin alınmaksızın düzenlenemez, Evrim Ağacı logosu, yazar/editör bilgileri ve içeriğin diğer kısımları izin alınmaksızın değiştirilemez veya kaldırılamaz.